[EE261学习笔记] 3+.傅里叶变换的三个实例：矩形函数、三角函数与高斯函数

矩形函数：

$$\Pi (t)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|t\right|<\frac{1}{2}\\ 0,& \left|t\right|\ge \frac{1}{2}\end{array}$$

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用欧拉公式的变形公式，详见傅里叶级数推导过程(2)、(3)式）：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\Pi (s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\Pi (t)dt\\ & ={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{e}^{-2\pi ist}dt\\ & ={-\frac{1}{2\pi is}{e}^{-2\pi ist}|}_{t=-\frac{1}{2}}^{t=\frac{1}{2}}\\ & =\frac{1}{\pi s}\frac{(e^{\pi is}-e^{-\pi is})}{2i}\\ & =\frac{\sin (\pi s)}{\pi s}\end{array}$$

我们定义 $sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$，我们称其为归一化 $sinc$ 函数，在数字信号处理中常用；
而对于 $sinc(x)=\frac{\sin (x)}{x}$，我们称其为未归一化的 $sinc$ 函数，在数学中常用。
二者十分类似，图像如下：

故

$$\mathcal{F}\Pi =sinc$$

观察推导过程，不难发现对于傅里叶逆变换，我们可以得到相同的结果，即

$${\mathcal{F}}^{-1}\Pi =sinc$$

更一般地，设

$${\Pi }_p(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|t\right|<\frac{p}{2}\\ 0,& \left|t\right|\ge \frac{p}{2}\end{array}$$

则有（证明类似，略）：

$$\mathcal{F}{\Pi }_p(s)=\frac{\sin \left(\pi ps\right)}{\pi s}=p\cdot sinc\left(ps\right)$$

$${\mathcal{F}}^{-1}{\Pi }_p(t)=\frac{\sin \left(\pi pt\right)}{\pi t}=p\cdot sinc\left(pt\right)$$

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三角函数

$$\Lambda (t)=\{\begin{array}{ll}1-\left|t\right|,& \left|t\right|\le 1\\ 0,& \left|t\right|>1\end{array}$$

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用分部积分法，详见微积分相关内容）：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\Lambda (s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}\Lambda (t)dt\\ & ={\int }_{-1}^0{e}^{-2\pi ist}(1+t)dt+{\int }_0^1{e}^{-2\pi ist}(1-t)dt\\ & ={\int }_{-1}^0(1+t)d(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})+{\int }_0^1(1-t)d(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})\\ & ={(1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_{-1}^0-{\int }_{-1}^0(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})d(1+t)+{(1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_0^1-{\int }_0^1(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})d(1-t)\\ & ={(1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_{-1}^0-{\int }_0^1(\frac{e^{-2\pi is(k-1)}}{-2\pi is})dk+{(1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_0^1-{\int }_1^0(\frac{e^{-2\pi is(1-k)}}{-2\pi is})dk\\ & ={(1+t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_{-1}^0-{(\frac{e^{2\pi is}}{-2\pi is}\frac{e^{-2\pi isk}}{-2\pi is})|}_0^1+{(1-t)(\frac{e^{-2\pi ist}}{-2\pi is})|}_0^1-{(\frac{e^{-2\pi is}}{-2\pi is}\frac{e^{2\pi isk}}{2\pi is})|}_1^0\\ & =\frac{2-e^{2\pi is}-e^{-2\pi is}}{4{\pi }^2{s}^2}\end{array}$$

利用欧拉公式，我们有：

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\Lambda (s)& =\frac{2-(\cos 2\pi s+i\sin 2\pi s)-(\cos 2\pi s-i\sin 2\pi s)}{4{\pi }^2{s}^2}\\ & =\frac{2-2\cos 2\pi s}{4{\pi }^2{s}^2}\\ & =\frac{2-2(1-2{\sin }^2\pi s)}{4{\pi }^2{s}^2}\\ & =\frac{{\sin }^2\pi s}{{\pi }^2{s}^2}\\ & =sin{c}^2(s)\end{array}$$

即

$$\mathcal{F}\Lambda =sin{c}^2$$

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最后我们来看高斯函数的傅里叶变换

高斯分布（又称正态分布）公式如下：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

即 $X$ ~ $N(\mu ,{\sigma }^2)$
我们令 $\mu =0$，${\sigma }^2=\frac{1}{2\pi }$，用 $t$ 代替 $x$ 成为自变量，则有以下高斯函数特例：

$$f(t)=e^{-\pi t^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

对 $(1)$ 式进行傅里叶变换，为了方便，我们将 $\mathcal{F}f$ 写作 $F$，则有

$$F(s)=\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt\text{\hspace{1em}(2)}$$

两边同时对$s$求导，

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(s)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{d}{ds}(e^{-2\pi ist})e^{-\pi t^2}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }(-2\pi it)e^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt\\ & =i{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-2\pi ist}d(e^{-\pi t^2})\\ & =i{e^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}|}_{t=-\infty }^{t=+\infty }-i{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\pi t^2}d(e^{-2\pi ist})\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

对于 $(2)$ 式，我们将等式右边拆分成两个部分进行计算
对于第一部分，我们不难发现，$i{e}^{-2\pi ist}=i\cos (2\pi st)+\sin (\pi st)$，由于 $\sin x$、$\cos x$ 是有限的，即取值范围都在 $[-1,1]$，因此，$i{e}^{-2\pi ist}$ 的取值也是有限的，即在复平面内模长为1的圆上取值；而当 $t\to \infty$ 时 $e^{-\pi t^2}\to 0$。一个有限的数与零相乘，其结果为0，故

$$i{e^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}|}_{t=-\infty }^{t=+\infty }=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

第二部分：

$$\begin{array}{rl}i{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi t^2}d(e^{-2\pi ist})& =i{\int }_{-\infty }^{+\infty }-2\pi is{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt\\ & =2\pi s{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-2\pi ist}{e}^{-\pi t^2}dt\\ & =2\pi sF(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

由$(3)$、$(4)$、$(5)$式，我们可以得到：

$$F^{\prime }(s)=0-2\pi sF(s)=-2\pi sF(s)$$

运用分离变量法解该常微分方程，我们可以得到：

$$F(s)=F(0)e^{-\pi s^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

根据 $(2)$ 式，我们可以得到：

$$F(0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-2\pi i0t}f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi t^2}dt\text{\hspace{1em}(7)}$$

下面我们先来计算定积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\pi t^2}dt$
令 $g(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\pi x^2}dx$，则

$$\begin{array}{rl}{g}^2(x)& =({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi x^2}dx{)}^2\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi x^2}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi y^2}dy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi x^2}{e}^{-\pi y^2}dxdy\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\pi (x^2+y^2)}dxdy\end{array}$$

我们对 $x$、$y$ 进行极坐标变换，可得：

$$\begin{array}{rl}{g}^2(x)& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\pi {\rho }^2}\rho d\rho d\theta \\ & ={\int }_0^{+\infty }2\pi e^{-\pi {\rho }^2}\rho d\rho \\ & =\pi {\int }_0^{+\infty }{e}^{-\pi {\rho }^2}d({\rho }^2)\\ & =\pi ({\frac{1}{-\pi }{e}^{-\pi {\rho }^2}|}_0^{+\infty })\\ & =-(0-1)\\ & =1\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

由$(6)$、$(7)$、$(8)$式，我们有

$$F(s)=\mathcal{F}f(s)=e^{-\pi s^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$

这个结果表示

高斯函数$f(t)=e^{-\pi t^2}$的傅里叶变换结果为$\mathcal{F}f(s)=e^{-\pi s^2}$，该图像与原图像形状是一样的

（本文中部分图片来源于wikipedia）