图神经网络学习笔记：傅里叶变换
（注：这个感觉还是写得不清楚，很有机会再重新一个）
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
三级形式的傅里叶级数： x ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( n ω t ) + b n sin ( n ˙ ω t ) ) x (t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n˙\omega_{} t)) x(t)=a0+∑n=1∞(ancos(nωt)+bnsin(n˙ωt))，需要满足Dirichlet
condition。傅里叶级数仅适用周期信号，傅里叶系数 ( a i , b i ) (a_i, b_i) (ai,bi)又叫离散频谱。
其中
T = 2 π w a 0 = 1 T ∫ − π 2 π 2 x ( t ) dt a n = 2 T ∫ − π 2 π 2 x ( t ) cos ( n ω t ) dt b n = 2 T ∫ − π 2 π 2 x ( t ) sin ( n ω t ) dt \begin{array}{rcl} T & = & \frac{2 \pi}{w}\\ a_0 & = & \frac{1}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t) {\operatorname{dt}}\\ a_n & = & \frac{2}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t) \cos (n \omega t) {\operatorname{dt}}\\ b_n & = & \frac{2}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t) \sin (n \omega t) {\operatorname{dt}} \end{array} Ta0anbn====w2πT1∫−2π2πx(t)dtT2∫−2π2πx(t)cos(nωt)dtT2∫−2π2πx(t)sin(nωt)dt
由
e i t = cos t + i ⋅ sin t e − i t = cos t − i sin t \begin{array}{rcl} e^{it} & = & \cos t + i \cdot \sin t\\ e^{- it} & = & \cos t - i \sin t \end{array} eite−it==cost+i⋅sintcost−isint
可得
cos ( n ω t ) = e i n ω t + e − i n ω t 2 t sin ( n ω t ) = e i n ω t − e − i n ω t 2 t \begin{array}{rcl} \cos (n \omega t) & = & \frac{e^{in \omega t} + e^{- in \omega t}}{2 t}\\ \sin (n \omega t) & = & \frac{e^{in \omega t} - e^{- in \omega t}}{2 t} \end{array} cos(nωt)sin(nωt)==2teinωt+e−inωt2teinωt−e−inωt
复指数形式的傅里叶级数： x ( t ) = ∑ − ∞ + ∞ C n e i n ω t x (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} C_n e^{in \omega t} x(t)=∑−∞+∞Cneinωt
其中， C n = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e i n w t ˙ dt C_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t) e^{inwt}˙{\operatorname{dt}} Cn=T1∫−2T2Tx(t)einwt˙dt
那非周期信号呢？可以看成周期无限大的周期信号。此时， w = 2 π T → 0 , C n → 0 w = \frac{2 \pi}{T} \rightarrow 0, C_n \rightarrow 0 w=T2π→0,Cn→0
频谱密度系数： x ( n ω ) = C n T = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) ˙ e in w t dt x (n \omega) = C_n T = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t)˙e^{{\operatorname{in}}wt} {\operatorname{dt}} x(nω)=CnT=∫−2T2Tx(t)˙einwtdt
傅里叶变换： x ( ω ) = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e i w t ˙ dt x (\omega) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t) e^{iwt}˙{\operatorname{dt}} x(ω)=∫−2T2Tx(t)eiwt˙dt
逆傅里叶变换： x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ x ( ω ) e i ω t ˙ d ω x (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} x (\omega) e^{i \omega t}˙d \omega x(t)=2π1∫−∞+∞x(ω)eiωt˙dω
注意： Δ e − i ω t = − ω 2 e − i ω t \Delta e^{- i \omega t} = - \omega^2 e^{- i \omega t} Δe−iωt=−ω2e−iωt，其中 Δ \Delta Δ是拉普拉斯算子
傅里叶变换将信号从时域空间转换到频域空间。
图傅里叶变换将图信号由空域（spatial
domain）视角转化到频域（frequency domain）视角。
其实也就是把图上的函数 f f f分解为几个基的组合。
L = V Λ V T = [ ⋮ ⋮ … ⋮ v 1 v 2 … v N ⋮ ⋮ … ⋮ ] [ λ 1 λ 2 ⋱ λ N ] [ … v 1 … … v 2 … … ⋮ … … v N … ] L = V \Lambda V^T = \left[\begin{array}{cccc} \vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\ v_1 & v_2 & \ldots & v_N\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_N \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \ldots & v_1 & \ldots\\ \ldots & v_2 & \ldots\\ \ldots & \vdots & \ldots\\ \ldots & v_N & \ldots \end{array}\right] L=VΛVT=⎣⎢⎢⎡⋮v1⋮⋮v2⋮………⋮vN⋮⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λN⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡…………v1v2⋮vN…………⎦⎥⎥⎥⎤
其中， V V V是正交特征矩阵， Λ \Lambda Λ是特征值向量的对角矩阵，即 diag ( ç L ˇ z ˊ a ˚ ¿ Ą a ˚ A ˘ ij a ˚ R ˇ S ˊ e ˊ G ˘ R ˊ ) {\operatorname{diag}} (çĽźå¿ĄåĂijåŘŚéĞŔ) diag(çLˇzˊa˚¿Ąa˚A˘ija˚RˇSˊeˊG˘Rˊ)。
图傅里叶变换： x ~ k = ∑ i = 1 N V ki T x i = < ˙ v k , x > \tilde{x}_k = \sum_{i = 1}^N V_{{\operatorname{ki}}}^T x_i = <˙v_k, x > x~k=∑i=1NVkiTxi=<˙vk,x>，矩阵形式： x ~ = V T x \tilde{x} = V^T x x~=VTx
逆图傅里叶变换： x k = ∑ i = 1 N V ki ⋅ x ~ i x_k = \sum_{i = 1}^N V_{{\operatorname{ki}}} \cdot \tilde{x}_i xk=∑i=1NVki⋅x~i，矩阵形式： x = V x ~ x = V \tilde{x} x=Vx~