关于傅立叶的简单入门

从问题入手，主要讲理解。

1.什么是傅立叶级数？这个东西从哪里来的？

2.什么又是傅立叶变换？

3.频域和时域的关系？

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Q1:

书上讲的很清楚，为了分析线性时不变LTI系统，出发点是将其中的信号表示成一组基本信号的线性组合，便于分析与观察输入和响应的关系来确定系统的特性。 《信号与系统》的一个主要目的就是学习各种方法来更为深入理解分析信号与系统。

第一种分析方法是单位冲激响应的叠加形成的卷积。
第二种就是通过傅立叶级数和傅立叶变换。更为深入..
（1）.傅立叶级数
使LTI系统的信号表示成基本信号的组合，这些基本信号必须有两个性质：

• 1 这些信号能构成相当广泛的一类信号
• 2 LTI系统对这些信号的响应应该十分简单。

以下均以连续时间举例。
发现：
1）复指数信号e^st 在LTI系统中的响应也是一个复指数信号H(S)e^st，复指数信号满足了第二个性质
2）性质一由书上傅立叶级数的收敛可以确定，几乎所有周期信号都可以用傅立叶级数表示（严谨证明自查资料咯）。

因此傅立叶级数核心成立，即可用复指数的线性组合来表示一个周期信号。而复指数由欧拉公式又可以表示成三角函数，即可用正弦和余弦的线性组合构成。
（科普：科学发现正确的顺序是先想到用三角函数来表示，有了欧拉公式后，就改用更为方便的复指数形式了）

关于公式的推导：直接看书，不存在什么难度伐
理解到了后，一些性质什么的都可以印证自己推导咯,虽然好多我也懒直接记的。。

补充：较形象的理解为什么可以由复指数表示 任何波形都可以由正弦（余弦）叠加得到，而复指数形式可以完美替代正余弦。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

　　第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
　　第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
　　第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
　　第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
　　随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
　　（只要努力，弯的都能掰直！）
　　随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
　　不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的

Q2：

讲完了周期函数可以用卷积表示也可以用傅立叶级数表示，那么非周期函数呢？
基本思想：把非周期信号当作一个周期信号在T→无穷大的极限看待
书上的推导过程我觉得很自然哎..然后就阔以表示咯
...性质同上

Q3：

一个信号有频域图有时域图，二者只是同一个东西的不同体现。
而傅立叶变换最屌的地方就在于它可以把在时域和频域之间变换！
以下是图解：

Paste_Image.png

　　在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。

我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

　　这是什么奇怪的东西？
　　这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——

　　再清楚一点：

做题中见到频域图 和时域图的关系图就是酱咯~

备注：
傅里叶分析究竟是干什么用的？
　　先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
　　先在纸上画一个 sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
　　好，接下去画一个 sin（3x）+sin（5x）的图形。
　　别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
　　好，画不出来不要紧，我把 sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把 sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
　　但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
　　所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
　　再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

图片相关来源：傅里叶分析之掐死教程 作者图上水印，精简了一些较难的部分。