博弈论(潜在博弈、纳什均衡)

博弈论是用于分析和研究参与主体的行为之间相互影响以及影响后决策均衡问题的理论。博弈论使用严谨的数学模型解决现实中利害冲突，是研究具有斗争或竞赛性质现象的数学方法。

一个标准的博弈模型由多个元素组成，可以用一个三元函数来表示。在博弈理论中 ，纳什均衡代表着博弈过程中的稳定状态，在参与者的策略集合中，当没有一个参与者可以靠改变自身策略来提高自身收益时，此时参与者的策略集合即纳什均衡。

潜在博弈是博弈的一种特殊类型，也称为势博弈。潜在博弈与普通博弈的区别是存在一个潜在方程，该方程可以直接表示博弈参与者效用函数的变化情况，同普通博弈一样，潜在博弈也会达到纳什均衡。

根据潜在方程的不同，可以分为以下几种不同类型的潜在博弈：

(1)完全潜在博弈
一个博弈被称为完全潜在博弈，如果存在潜在方程Ｐ，对任意的i属于N，任意的a属于A，博弈满足：

当参与者进行单方面改变策略时，如果存在一个函数，该函数能够准确的表示参与者效用函数的变化，那么满足此条件的博弈即为完全潜在博弈。在各种潜在博弈中，完全潜在博弈需要严格平等的限定条件，其他潜在博弈则是在降低这个限制条件下来定义的。

(2)普通潜在博弈
如果对任意的i属于N，任意的a属于A，博弈满足：

就称为普通潜在博弈。普通潜在博弈仅要求潜在函数值会根据策略收益的改变而改变，也就是如果博弈参与者i通过单方面的改变策略而增加了收益或减少了收益，那么潜在函数P的值也会随着这个改变而相应的增加或减小。

(3)权重潜在博弈
设向量w=(w1,w2,…,wN)为一个权重，如果对任意的i属于N，任意的a属于A，博弈满足：

就称为权重潜在博弈。相应的P称为加权潜在函数。在权重潜在博弈中，参与者会根据策略偏差来单方面的改变自身策略，所产生的收益改变等同于潜在函数所产生的收益变化，但改变的范围大小会受到权重因子的影响。当权重因子Ｗ＝１时，权重潜在博弈即为完全潜在博弈。

(4)最优响应潜在博弈
如果对于任意的i属于N，任意的a属于A，博弈满足：

就称为最优响应潜在博弈。Bi(a_i)称为对应参与者i的最优响应。

(5)伪潜在博弈
如果存在一个连续函数Ｐ，如果对任意的i属于N和任意的a_i属于A_i存在：

就称为伪潜在博弈。Bi(a_i)称为对应参与者i的最优响应。

各种潜在博弈之间的关系：

N代表博弈中的参与者，参与者是决策的最小执行单元，每个参与者都可以改变自身策略来增加自身收益。A代表策略空间，参与者i的策略空间为Ai，表示参与者可行策略集合，用A_i代表除i之外的所有其它参与者的策略集合，有A=(Ai，A_i)。策略组合a是策略空间A中的元素，将参与者每人选择一个策略所组成的一个有序集合记为a=(a1,a2,…,an)。ui代表参与者i的效益函数，用来衡量参与者利益的得失。对于参与者i来说，其效益是策略组合a的函数，记为ui(a)。