大川教你彻底理解拉格朗日插值

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有何用

板子：给出平面上n+1个点，求一条穿过这n+1个点的n次多项式，或这个多项式在另一个点处的值。

显然可以高斯消元求出每一项系数，然后输出/直接爆算。

其实拉格朗日插值有两种：朴素的，和重心拉个朗日插值。一般情况下，朴素的和高斯消元在求解第1问时复杂度没有区别，但是后者无论第几问都可以用$O(n^2)$的复杂度爆艹高斯消元$O(n^3)$。

以下全都介绍求多项式的方法。

直观理解

这里的是朴素插值。

比如说，已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：

首先显然可以用一个n次多项式经过，不保证第n项系数是否为0。

然后高斯消元告诉我们，这应该是一个二次曲线。

$y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$

然后，显然可以解方程。

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_0+a_1{x}_1^1+a_2{x}_1^2\\ y_2=a_0+a_1{x}_2^1+a_2{x}_2^2\\ y_3=a_0+a_1{x}_3^1+a_2{x}_3^2\end{array}$$

然而，如果不解方程呢？

拉格朗日发现，我们可以用三根二次函数相加得到我们要的函数。

第一个函数$f_1(x)$，在$x=x_1$处值为1，在$x=x_2,x_3$处都为0。

第二个函数$f_2(x)$，在$x=x_2$处值为1，其余两处值为0。

第三个函数$f_3(x)$，在$x=x_3$处值为1，其余两处值为0。

现在我们考察$y_1{f}_1(x)+y_2{f}_2(x)+y_3{f}_3(x)$的性质。首先，它是一个二次函数。然后，它过这三个点。高斯消元告诉我们，这个函数就是唯一的二次函数 which（经过这三个点）。

形式化的表述

首先还是朴素插值。

假如有$n+1$个点，每个点形如$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),...$，假设任意两个x都不相同，那么最后得到的多项式肯定是：

$$L(x)=\sum _{j=0}^n(y_i\prod _{i=0,i̸=j}^n\frac{x-x_i}{x_j-x_i})$$

显然，这个式子计算连乘部分是n^2的（直接二项打开），总复杂度$O(n^3)$。

而且，如果在原点集的基础上加一个点，它需要比较大的复杂度取更新。

以上是傻逼做法。

正常的做法应该是，发现每一个连乘的分子乘上一个二项式能变成一个统一的多项式，所以处理的时候直接用不需要的那个二项式去除那个多项式就行（下面的常数计算）。¹

为了方便增加一个点的改进（正常做法）

令拉格朗日基本多项式

$$l_j(x)=\prod _{i=0,i̸=j}^n\frac{x-x_i}{x_j-x_i}$$

再令

$$l(x)=\prod _{i=0}^{n}x-x_i$$

可以得到

$$l_j(x)=\frac{l(x)}{x-x_j}\frac{1}{{\prod }_{i=0,i̸=j}^n(x_j-x_i)}$$

令重心权$w_j$为

$$w_j=\prod _{i=0,i̸=j}^n(x_j-x_i)$$

就有

$$l_j(x)=l(x)\frac{w_j}{x-x_j}$$

于是最后的多项式就是

$$L(x)=l(x)\sum _{j=0}^n\frac{w_j}{x-x_j}{y}_j$$

对于这个公式，我们可以每次插入一个点，插一个点On，又因为除的项只有两项，可以手动讨论，因此最后统计n^2，显然求出答案是$O(n^2)$的。

只要求值

前面说过，如果只是求值，那么朴素的拉格朗日插值也能做到$O(n^2)$。就是直接把要求的x带入上面一堆式子中的x即可。

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1. 以上四行为第一次更新所更新的内容。初读可以忽略。 ↩︎