树状数组的一些理解

树状数组中的$lowbit$的一些具体意思，有一点感悟。

原理：这个百度上都有，就不说了。

假设树状数组为$c[]$，原数组为$a[]$，$1-i$的和数组为$sum[i]$。
则经过观察有：
$c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i]$
$sum[i]=c[i]+c[i-2^{k1}]+c[i-2^{k1}-2^{k2}]+...+c[0]$

这里的$lowbit(x)$有两种求法：
$lowbit(x)=(x)and(-x)$
$lowbit(x)=(x)xor(x-1)$

$y=x+lowbit(x)$：此时的$y$，在树状数组的图形中，就是$x$的父亲节点，也就是$y$包括$x$的覆盖范围。

$y=x-lowbit(x)$：此时的$y$，在树状数组的图形中就是一个相邻的节点。

树状数组可以支持：
1.单点修改，区间查询
2.区间修改，单点查询
3.区间修改，区间查询
4.区间最值
5.二维树状数组

1.单点修改，区间查询：

树状数组的元素代表对应区间$a[i]$的和，可能需要离散化。

2.区间修改，单点查询：

这个需要转化到差分的形式，树状数组的每个元素维护对应区间$a[i]-a[i-1]$的值。

3.区间修改，区间查询：

这个就需要推导一下了。
首先，令$d[i]=a[i]-a[i-1]$
${\sum }_{i=1}^{n}a[i]={\sum }_{k=1}^n({\sum }_{i=1}^{k}d[i]+a[0])，a[0]=0$
化简后为：
$$\begin{gathered} {\sum }_{i=1}^{n}a[i] \\ ={\sum }_{k=1}^n(n-i+1)\ast d[i] \\ =(n+1)\ast {\sum }_{i=1}^{n}d[i]-{\sum }_{i=1}^{n}i\ast d[i] \end{gathered}$$
因此，维护一下$d[i]$和$i\ast d[i]$就可以了。

4.区间最值：

(HDU 1754)
这里可以考虑附上核心代码：

void update(int pos){
		while(pos<=N){
			t[pos]=a[pos];
			int y=lowbit(pos);
			for(int i=0;(1<<i)<y;++i) t[pos]=max(t[pos],t[pos-(1<<i)]);
			pos+=y;
		}
	}

	int query(int l,int r){
		int ans=0;
		//cout<
		while(l<=r){
			//cout<
			if(r-lowbit(r)+1>=l) ans=max(ans,t[r]),r-=lowbit(r);
			else ans=max(ans,a[r]),--r;
		}
		return ans;
	}

解释一下核心部分，这里有两个数组$a[]$表示数组中的值，$t[]$表示树状数组中对应的区间的最大值。
对于$update$中的一段：

for(int i=0;(1<<i)<y;++i) t[pos]=max(t[pos],t[pos-(1<<i)]);

这里是在枚举树状数组中某个节点的所有子节点，想象一下，这些节点$pos-(1<<i)$的$lowbit$一定为$1<<i$,所以加上以后一定会$pos$。

对于$query$中的一段：

if(r-lowbit(r)+1>=l) ans=max(ans,t[r]),r-=lowbit(r);	
else ans=max(ans,a[r]),--r;

这里主要是在考虑该节点能不能完全包含在区间内，如果能就比较答案与这段区间的值，如果不能，就一个一个的枚举。

5.二维树状数组

对于$x$的每个节点，再开一个树状数组来进行记录$y$的信息。
可以用树套树等代替。
统计的是一个正方形方块内的和。$(1-n,1-m)$

附上代码：

struct Tree_array{
	LL t[maxn];

	void init(){ memset(t,0,sizeof t); }

	void update(int pos,int num){
		while(pos<=N){
			t[pos]+=num;
			pos+=lowbit(pos);
		}
	}

	LL query(int pos){
		LL sum=0;
		while(pos){
			sum+=t[pos];
			pos-=lowbit(pos);
		}
		return sum;
	}
}T[maxn];

void update(int x,int y,int z){
	while(x<=N){
		T[x].update(y,z);
		x+=lowbit(x);
	}
}

LL query(int x,int y){
	LL sum=0;
	while(x){
		sum+=T[x].query(y);
		x-=lowbit(x);
	}
	return sum;
}