启发式合并（堆、set、splay、treap）/线段树合并学习小记

启发式合并

• 刚听到这个东西的时候，我是相当蒙圈的。特别是“启发式”这三个字莫名的装逼，因此之前一直没有学。
• 实际上，这个东西就是一个SB贪心。
• 以堆为例，若我们要合并两个堆a、b，我们有一种极其简单的做法：那就是比较一下它们的大小，将小的堆的每个元素依次插入到大的堆中。不妨设 |a|≤|b| | a | ≤ | b | ，则时间复杂度即为： O(|a|∗log2(|a|+|b|)) O ( | a | ∗ l o g 2 ( | a | + | b | ) ) 。
• 这个东西看似很慢，但当点数较小的时候，我们可以证明复杂度是可被接受的。

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• 比如我们要合并n个堆，这n个堆共有m个点。设这n个堆 ={s1,s2,s3,...,sn} = { s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s n } 。
• 首先，我们合并 s1 s 1 和 s2 s 2 ，变成一个新的堆 t1 t 1 。
• 然后，我们合并 t1 t 1 和 s3 s 3 ，变成一个新的堆 t2 t 2 。
• ……
• 以此类推，我们最终可以合并出一个堆 tn−1 t n − 1 。

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• 合并堆a、b时，记1次操作为将a中的一个元素插入b（或将b中的一个元素插入a）。
• 可以发现，第1次合并操作数 ≤|s2| ≤ | s 2 | ，第2次合并操作数 ≤|s3| ≤ | s 3 | ……第i次合并操作数 ≤|si+1| ≤ | s i + 1 | 。
• 因此，总操作数 ≤∑ni=2|si|≤m ≤ ∑ i = 2 n | s i | ≤ m 。而每次操作又是 O(log2m) O ( l o g 2 m ) 的复杂度。因此：
• 时间复杂度： O(n+mlog2m) O ( n + m l o g 2 m ) 。

推广

• 启发式合并也可以用到set、splay、treap等平衡树上去。
• 若我们要合并两棵平衡树a、b，也是先比较大小，将小的平衡树的每个元素依次插入大的平衡树。囿于插入的时间也是 O(log2n) O ( l o g 2 n ) ，因此总复杂度还是 O(|a|∗log2(|a|+|b|)) O ( | a | ∗ l o g 2 ( | a | + | b | ) ) 。
• 注意：这里的合并并非treap的merge。merge(a,b)是强行让a所有元素的键值（要满足二叉排序树的性质的那个值）均小于b所有元素的键值，所以可以 O(log2n) O ( l o g 2 n ) 做到；而这里要合并的两棵平衡树a、b的键值可能是交错不齐的。

线段树合并

• OI中常常遇到一些题目，要将若干物件不断合并，维护信息。
• 如果合并的顺序不对，堆/平衡树的启发式合并会很慢。比如当你分治+启发式合并的时候，时间复杂度就变成 O(n∗(log2n)2) O ( n ∗ ( l o g 2 n ) 2 ) 了。
• 这个时候，就需要线段树合并。

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• 对于这个，相信大家都想得出下面这种合并步骤：
  
• 为了方便确定一棵树是否为空，我们动态开点。
• 比如，我们合并两棵权值线段树：
  
• 显然，这么做的复杂度与两棵树公共的节点数成正比。
• 但是，假设我们要合并多棵线段树呢？

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• 假设我们要合并n棵线段树，定义势能函数 Φ(n) Φ ( n ) 为它们的节点个数和。
• 每次合并线段树a、b时，设其公共点数为c，则合并后的 Φ(n) Φ ( n ) 减少c，而时间复杂度增加c。
• 因此，时间复杂度应≤节点个数和。
• 当线段树中总共有m个元素时（比如n棵权值线段树，只存有m个数），每个元素都可以动态开辟至多 log2n l o g 2 n 个节点。因此，此时的时间复杂度应为 O(n+mlog2n) O ( n + m l o g 2 n ) 。
• 注意：此时的时间复杂度并不受合并顺序的限制。换句话说，不论你按什么顺序合并，只要你是合并n棵只有m个元素的线段树，时间复杂度就是 O(n+mlog2n) O ( n + m l o g 2 n ) 。

例题

【BZOJ 2212】【Poi2011】 Tree Rotations
【JZOJ5800】【洛谷P4416】 [COCI2017-2018#1] 被单