泊松回归

泊松分布

当时学交通工程学的时候就看到书上讲，泊松分布是n趋向于无穷时的二项分布，书上还给出了推导公式，确实没毛病，但是还是没有明白两者之间有什么关联，这到底是为什么呢？最近需要做泊松回归模型，正好看到了知乎上一些答主的回答，恍然大悟，要是当时书上这样讲一下再推导就好了。
简而言之就是：把泊松分布里的单位时间或者空间划分为无穷多份，这样子每一份里事件的发生与不发生就是0-1分布（最简单的二项分布），即发生或不发生。而总体就是n趋近于无穷的二项分布，这个时候就是泊松分布。

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泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式
二项分布是说，已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从于二项分布。

泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数，而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。

例如，在五分钟内，电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。假如你把“连续的时间”分割成无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”，这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份，因此n(试验次数)很大。所以，泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。

因为二项分布其实就是一个最最简单的**“发生”与“不发生”**的分布，它可以描述非常多的随机的自然界现象，因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。

知乎用户ctian的回答

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每个病人来看病都是随机并独立的概率，则该医院一天（或者其他特定时间段，一小时，一周等等）接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢？
我个人认为最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。
Poisson分布的第一个定义是一个随机变量X, 只能取值非负整数（x=0,1,2,…），且相应的概率为

则该变量称为服从poisson分布。 这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。
注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义，或者说是Poisson Process的定义：假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：
（1）将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。
（2）在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。
（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。 则该事件称为poisson process。
这个第二定义就更加利于大家理解了，回到医院的例子之中，如果我们把一天分成24个小时，或者24x60分钟，或者24x3600秒。时间分的越短，这个时间段里来病人的概率就越小（比如说医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病人的概率是不是很接近于零？）。 条件一符合。另外如果我们把时间分的很细很细，是不是同时来两个病人（或者两个以上的病人）就是不可能的事件？即使两个病人同时来，也总有一个人先迈步子跨进医院大门吧。条件二也符合。倒是条件三的要求比较苛刻。应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的，如果不是，则不能看作是poisson分布。
现在有了第二定义作为桥梁，应该就很容易理解了。现实生活中的例子中如果事件相互独立，那么它就是符合poisson分布的第二定义的。而从poisson第二定义到poisson第一定义之间是有严格的数学证明的。
知乎用户楚小鱼的回答

泊松回归

泊松回归（英语：Poisson regression）是用来为计数资料和列联表建模的一种回归分析。泊松回归假设反应变量Y服从泊松分布，并假设它期望值的对数可被未知参数的线性组合建模。泊松回归模型有时（特别是当用作列联表模型时）又被称作对数-线性模型。百度百科
泊松回归表达形式为：

也可以写做

我们假设Y服从泊松分布，然后由极大似然估计（Maximum Likelihood estimation）的方法来估计参数***θ***
泊松分布也是一个很强的假设，他要求因变量的期望等于方差。好在即使因变量不服从泊松分布，只要样本数量足够大，并不会妨碍我们得到渐进一致的估计值。
估计出结果后，可以进行过度分散（overdispersion)检验来判断方差与期望的关系，如果不相等，说明更合适的模型是负二项分布模型，但是负二项模型在估计时经常会出现不收敛的情况。

泊松回归求解及分析

主要利用python的statsmodels库接口
statsmodels

from statsmodels.formula.api import poisson
# possion回归
model=poisson(formula="orders~avg_temp+C(is_weekday)+C(is_rain)",data=order_data)
results = model.fit()
print(results.summary())

C代表该变量为分类变量
结果如下：

所有变量均显著
我们可以自己计算IRR(incidence rate rations)，即
IRR=exp(Coef)
代表该变量变化一个单位，因变量（期望）变化情况
如：下表中，若is_weekday由0变为1（由周末变成工作日），则按照这个模型因变量（订单量）会增加13%(1.1298-1)。

Possion Regression
Variable	Coef	P>|z|	IRR
Is_weekday	0.1220	0.000	1.1298
Is_rain	-0.2196	0.000	0.8028
Avg_temp	0.0298	0.000	1.0302
Constant	10.5643	0.000	-
Pseudo R-squ		0.6553

更多关于泊松回归的解读可以看这里
Bruin, J. 2006. newtest: command to compute new test. UCLA:
Statistical Consulting Group. https://stats.idre.ucla.edu/stata/ado/analysis/.