汉明码(Hamming Code)是广泛用于内存和磁盘纠错的编码。汉明码不仅可以用来检测转移数据时发生的错误,还可以用来修正错误。(要注意的是,汉明码只能发现和修正一位错误,对于两位或者两位以上的错误无法正确和发现)。
设将要进行检测的二进制代码为n位,为使其具有纠错能力,需要再加上k位的检测位,组成n+k位的代码。那么,新增加的检测位数k应满足:
2 k − 1 ≥ n + k 2^k-1\geq n+k 2k−1≥n+k
这就是Hamming不等式,汉明吗规定,我们所得到的m位编码 2 k ( k ≥ 0 ∣ 2 k < n + k ) 2^k(k\geq0\mid 2^k<n+k) 2k(k≥0∣2k<n+k)位上插入特殊的校验码,其余位把源码按顺序放置。
汉明码的编码规则如下:
以10101编码为例,创建一个汉明码编码的空间,并且把源码填入编码的对应位中中,_ _ 1 _ 0 10 _ 1,并留出校验码位(校验位先设为0)。(因为2^4 - 1>= 5+4 && 2^3 - 1 < 5+ 3所以需要4位校验码)
我们以上面的编码为例,假设我们现在收到的编码为001101001,我们可以发现汉明码的第8位与原来的汉明码001101011不同,那我们怎么找出这个第8位的错误编码呢?
算法很简单,我们只要在算汉明码校验位的算法的上再算一遍,就得到了汉明码的校验方法,比如计算001101001对应的2^k位。
1,3,5,7,9进行异或,得到0
2,3,6,7进行异或,得到0
4,5,6,7进行异或,得到0
8,9进行异或,得到1
我们把上述结果反着排列,得到1000,即十进制的8,根据汉明码的校验规则,编码出错的地方即在第8位,我们把第8位的0换成1,即可得原来的编码001101011。
上述的例子是出现在2k的校验位上的,如果出现在非2k位上,得到的结果也是一样的,比如:
假设收到的编码为001100011,即第6位出了错误,我们根据规则
1,3,5,7,9进行异或,得到0
2,3,6,7进行异或,得到1
4,5,6,7进行异或,得到1
8,9进行异或,得到0
我们把上述结果反着排列,得到0110,即十进制的6,根据汉明码的校验规则,编码出错的地方即在第6位,我们把第6位的0换成1,即可得原来的编码001101011。
通过原理,我们可以和简单地实现汉明码的编码和校验代码
编码:
auto cal(size_t sz)->decltype(auto)
{
decltype(sz) k = 0;
decltype(sz) cur = 1;
while (cur - 1 < sz + k )
{
cur <<= 1;
k++;
}
return k;
}
bool encode(const string &s, string &d)
{
d.clear();
auto k = cal(s.size());
d.resize(s.size() + k);
for (decltype(d.size()) i = 0, j = 0, p = 0; i!= d.size();i++)
{
if ((i + 1) == pow(2,p) && p < k)
{
d[i] = '0';
p++;
}
else if (s[j] == '0' || s[j] == '1')
d[i] = s[j++];
else
return false;
}
for (auto i = 0; i != k;i++)
{
int count = 0 ,index = 1 << i;
for (auto j = index - 1; j < d.size() ;j += index)
for (auto k = 0; k!= index && j < d.size(); k++, j++)
count ^= d[j] - '0';
d[index - 1] = '0' + count;
}
return true;
}
解码与校验:
auto antiCal(size_t sz)->decltype(auto)
{
decltype(sz) k = 0;
decltype(sz) cur = 1;
while (cur < sz)
{
cur <<= 1;
k++;
}
return k;
}
auto decode(string &s, string &d)->decltype(auto)
{
s.clear();
auto k = antiCal(d.size());
s.resize(d.size() - k);
decltype(d.size()) sum = 0;
for (decltype(k) p = 0;p != k;p++)
{
int pAnti = 0;
decltype(k) index = 1 << p;
for (decltype(d.size()) i = index - 1;i < d.size(); i+=index)
{
for (auto j = 0; j < index && i < d.size(); i++, j++)
pAnti ^= d[i] - '0';
}
sum += pAnti << p;
}
if (sum != 0)
d[sum - 1] = (1- (int)(d[sum - 1] - '0')) + '0';
for (decltype(d.size()) i = 0, p = 0,j = 0; i != d.size(); i++)
{
if ((i + 1) == (1 << p) && p < k)
p++;
else
s[j++] = d[i];
}
return sum;
}
测试样例:
int main()
{
string source, dest;
while (cin >> source)
{
if (encode(source,dest))
{
cout << "Source: " <