对极几何-Epipolar Geometry

一.对极几何基本概念（The basic concept of Epipolar Geometry）

1.在这里，我专门挑了一个最为清晰明白的图片来表达我们要讲的对极几何，可以通过图片看出来对极几何一定对应着两张不同角度的视图，否则不能提供足够的信息来实现对极几何。

首先，我们先介绍一下在这里的基本概念：
（1）相机位置（$O$和$O^{{}^{\prime }}$）：代表相机在空间的位置。
（2）基线（$O$$O^{{}^{\prime }}$，BaseLine）：两个相机位置的连线为基线。
（3）对极线（$OM$和$O^{{}^{\prime }}M$）：代表相机位置和图片之间的交线。
（4）对极平面（$O{O}^{{}^{\prime }}M$）：代表着由基线$O{O}^{{}^{\prime }}$与图像平面相交的平面。我觉得下面这张图片表达的更为有力，我们一起来看下图。

二.对极几何（Epipolar Geometry）

嗯，我们又来这张图片，下面让我们用公式来表示一下对极几何：
（1）首先，我们将$M(x,y,z)$作为三维空间的点
（2）相机位置点为$O$和$O^{{}^{\prime }}$
（3）两个相机之间的位置关系可以有相机之间角度的旋转角度$R$和平移距离$T$来表示，举个例子也就是说$$O^{{}^{\prime }}=RO+T$$
（4）$K，K^{{}^{\prime }}$分别代表在对应相机位置点$O，O^{{}^{\prime }}$的相机内参矩阵
（5）$I，I^{{}^{\prime }}$分别对应的像素点齐次坐标，通过特征提取和匹配获得
（6）通过以上给出的已知条件，我们可以简单的表达：$$OI=KM，O^{{}^{\prime }}{I}^{{}^{\prime }}=K^{{}^{\prime }}M即O^{{}^{\prime }}{I}^{{}^{\prime }}=(RK+T)M$$
（7）接下来通过上述式子的求解，我们可以求出对应的$R,T$

二.对极几何的约束条件（Constraints on Epipolar Geometry）

好吧，我们又来这幅图，（嗯，他画的很好~）

（1）我们可以看到，对极平面（$O{O}^{{}^{\prime }}M$）其实是有五个位置点确认的一个平面，五个位置点分别为（$O,O^{{}^{\prime }},I,I^{{}^{\prime }},M$）简单来说由着五个点共面来约束现在的对极平面（$O{O}^{{}^{\prime }}{I}^{{}^{\prime }}MI$）

（2）对极约束（这么大是因为它重要，我们经常用到）

1）.对于单一相机位置1来说，我们观察位置原图像或者特征图的像素点$x_1$,并且我们不能确定该3D位置点的深度D。

2).现在我们考虑观测同一个3D点的第二个摄像机。从第一个摄像机可得知，该点必定位于3D空间中的一条特定光线上。进而第二幅图像中该点的投影位置x2必定位于第二幅图像中这条光线投影上的某个位置。三维空间中的光线在二维空间中的投影就是所谓的极线（绿色代表的线）。

3).这种几何关系告诉我们一些重要信息：对于第一幅图像中的任意点，其在第二幅图像中的对应点被限制在一条线上。这就是所谓的极线约束。而这条受约束的特定极线依赖于摄像机的内在参数和外在参数（也就是两个摄像机间的相对平移和旋转）。

（3）极点

极点其实就是相机位置1,2与图片（特征图）之间的交点，也就是基线12（BaseLine），也就说所有的光线都汇聚于第一个摄像机的光心1，所以极线必须汇聚于第二幅图像平面上的一个点。这是第一个摄像机的光心在第二个摄像机中的图像，称为极点，如上图所示

参考文献

【1】视觉SLAM十四讲

【2】Computer Vision：Model，Learning，and Inference

【3】中科院自动化所机器视觉PPT
【4】https://www.cnblogs.com/majiale/p/9306039.html