主席树 可持久化线段树

主席树

可持久化线段树,又称为主席树,是线段树的进阶版。
本篇文章以可持久化权值线段树为例。如果不会权值线段树可以先学习一下。
【权值线段树】基础入门知识详解

是什么

它可以看作是多棵权值线段树,但它所占的空间很小!!!
具体不易解释,可以先往后面的内容浏览。
##为什么要用它
对于一棵权值线段树,我们要往里面加入 n n n个数。容易知道,每加入一个数就会更新一遍线段树。
当我们想要知道每次更新后的权值线段树的状态时,如果我们直接用 n n n棵线段树,空间一般情况都会爆炸,于是这树我们要用到***可持久化线段树——主席树***。
假设有这么一串数: 2 , 4 , 2 , 3 2,4,2,3 2423
每次更新后的状态如果都用一棵普通权值线段树表示的话,是这样的:
主席树 可持久化线段树_第1张图片

主席树 可持久化线段树_第2张图片
图中红色的节点代表它的值相比上一次修改后的值发生了变化。
在这里,我们不难发现,每次修改只会有添加的值到根节点的一条链上的值发生了变化,而其它的节点和上次修改结束后的都是一样的。
既然如此,我们为什么要每次新建一棵权值线段树呢?每次新建一条链不就好了吗?

先看看它究竟长什么样

注意,前方超高能预警!!!
白色字体为一棵空的树,
红色为第一次添加的节点,
紫色为第二次添加的节点,
绿色为第三次添加的节点,
棕色为第四次添加的节点。
(为了画图好看,左右子树的位置可能相反,也就是可能左子树在右边,右子树在左边,分辨左右子树应看它们的区间所对应的值)
主席树 可持久化线段树_第3张图片
是不是特别震撼!!!现在的你是不是目瞪口呆!!!

怎么实现

首先我们要建立一棵没有值的权值线段树,如上图白色的地方。
修改时每到一个节点,判断要修改的值是在左子树还是右子树,新建将要修改的值所在的子节点,而另一边直接连向上一次修改的对应节点。
同时要记录每次修改的对应根节点编号。
注意:主席树的节点编号不一定满足 v v v的左子树为 v ∗ 2 v*2 v2和右儿子为 v ∗ 2 + 1 v*2+1 v2+1,所以必须用数组记录左右节点的编号。
举例:
如当前要修改 2 2 2,递归到区间 [ 1 , 4 ] [1,4] [1,4]时, 2 2 2在左儿子中,所以新建一个节点 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]为当前的左儿子,而右儿子就为上一次修改完的区间 [ 1 , 4 ] [1,4] [1,4]的右儿子。

void make(int v,int l,int r)
{
	if(l==r) 
	{
		f[v].sum=0;
		if(v>num) num=v;//先记录空线段树所用的节点数。
		return;
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)/2;
		f[v].l=v*2,f[v].r=v*2+1;
		make(v*2,l,mid);
		make(v*2+1,mid+1,r);
	}
}
void add(int v,int v1,int l,int r,int x)
{
	if(l==r)
	{
		f[v1].sum++;
		return;
	}
	else
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(x<=mid)//要修改的数在左子树中。
		{
			f[v1].l=++num;//该节点的左儿子为新建节点。
			f[v1].r=f[v].r;//右儿子为上一次修改后的右儿子。
			add(f[v].l,f[v1].l,l,mid,x);
		}
		else//要修改的数在右子树中。
		{
			f[v1].l=f[v].l;//左儿子为上一次修改后的左儿子。
			f[v1].r=++num;//该节点的右儿子为新建节点。
			add(f[v].r,f[v1].r,mid+1,r,x);
		}
		f[v1].sum=f[f[v1].l].sum+f[f[v1].r].sum;//当前的总和为左右节点的总和之和。
	}
}
root[0]=1;
make(1,1,n);//先建立一棵为空的权值线段树。
for(i=1;i<=n;i++)
{
	root[i]=++num;
	add(root[i-1],root[i],1,n,a[i]);//从上一个根和当前的根一起往下递归。
}

基本用处

求一个序列中,第 x x x个数到第 y y y个数中的第 k k k小值。
和权值线段树求第 k k k小值类似,每次从 x − 1 x-1 x1 y y y的根节点开始往下递归。
每次的个数即为 y y y树中对应个数减去 x − 1 x-1 x1树中对应个数的值。

int find(int v,int v1,int l,int r,int k)
{
	if(l==r) return l;
	else 
	{
		int mid=(l+r)/2,s1=f[f[v1].l].sum-f[f[v].l].sum,s2=f[f[v1].r].sum-f[f[v].r].sum;//s1为第x~y个数中范围为[l,mid]的个数,s2为第x~y个数中范围为(mid,r]的个数。
		if(s1>=k) return find(f[v].l,f[v1].l,l,mid,k);
		else return find(f[v].r,f[v1].r,mid+1,r,k-s1);
	}
}
for(i=1;i<=q;i++)
{	
	scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
	printf("%d\n",find(root[x-1],root[y],1,n,k));
}

例题

JZOJ 1011. 【GDKOI2009模拟3】Zoo

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