武汉大学2020年大学生程序设计大赛决赛（重现赛）J (oeis or 卡特兰数+可重集排列数)

J-Jogging along the Yangtze River

题目链接

单独把这个题拿出来写题解，因为补这一个题学到了太多东西了

1、如何oeis 

2、卡特兰数

3、可重集合排列数

 

题意：输入n  现在二维平面上，初始点在(0,0)  要走到(2n,0) 

走的方案如下：

① (x,y)->(x+2,y)

② (x,y)->（x+1,y+1)

③ (x,y)->(x+1,y-1)

如果没有1操作 就是一个卡特兰数

这里有两种做法，oeis做法或者推卡特兰数+可重集排列数

做法1：参考来自：博客

百度oeis  输入2,6,22,90  

找到formula  这招适合网络赛时候用，现场赛可能就gg了  然而大部分不就是网络赛吗，现场赛不要钱的吗

公式写在草稿纸上：

 

 

 

#include
using namespace std;
const int N=1e5+1,mod=998244353;
int C[N],g[N];
int main(){
    C[0]=g[0]=g[1]=1;
    for(int i=2;i

 

做法2: 参考来自博客

一步一步来看

 

 

第一部分：

这个公式应该是卡特兰数简介里的第一个公式

至于这个公式怎么来的，看一道题：P1641 [SCOI2010]生成字符串 大概就懂这个公式了：题解

 

 

 

第二部分：

 

什么是可重集和排列数？

献上博客：博客

证明就没看了。

那就是相当于分成三个部分：

右走：i    右上走: n-i    右下走:  n-i   总：n-i

我懒，代码没有自己打了

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = a * ans % mod;
        a = a * a % mod;
        b /= 2;
    }
    return ans;
}
ll f[300005];
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=300000;i++){
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
    }
    int n;cin>>n;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        ll sum=1;
        ll cat=f[2*(n-i)]*qpow(f[(n-i)]*f[(n-i)]%mod*((n-i)+1)%mod,mod-2)%mod;//卡特兰数部分
        
        sum=f[2*n-i]*qpow(f[i]*f[2*(n-i)]%mod,mod-2)%mod;//可重集部分
        ll q=cat%mod*sum%mod;
        ans=(ans+q)%mod;
    }
    cout<