Matlab蒙特卡洛模拟二维伊辛模型相变过程

一、什么是伊辛模型

伊辛（Ising）模型是描述磁系统相变最简单的模型，但模型里自旋之间的相互作用赋予了它奇妙的特性，最有趣的就是对称性破缺。这一模型可以被推广用于研究连续的量子相变、基本粒子超弦理论、动力学临界行为等，甚至被认为可以描述深林火灾、交通拥堵、舆论传播等社会经济现象。

如图，每个格点的方向只有向上或向下两者状态，但临近的自旋之间有相互作用，而且点阵可以是一维、二维、三维、甚至更高维，这两个特点让伊辛模型的严格求解成为了世纪难题。为了定量描述这个系统的能量，我们假设第$i$个格点的自旋为$s_i$，$s_i$只能取+1或-1，如果相邻两个格点同方向，则它们相互作用的能量更小，设为$-J$，如果为反方向，则为$J$，$J$称为耦合系数，通常为正值，代表铁磁系统，如果$J$为负值，则代表反铁磁系统。如果外磁场的强度为B，格点的自旋磁矩为$\mu$，那么可以写出这个体系的哈密顿量：
$$H=-J\sum _{<ij>}{s}_i{s}_j-\mu B\sum _{i=1}^N{s}_i$$

自发对称性破缺

我们先定性地了解一下这个系统的性质，令外磁场零，当温度$T\to 0$时，体系为了保持能量最低，所用的格点趋向于同方向，系统整体要么向下，要么向上，呈现强磁性。当温度$T\to \infty$时，系统热运动占主导地位，格点方向呈现随机性，系统整体不带磁性，从上或从下观察体系，呈现出对称性，或者说无法通过系统磁性区分上或下。现在再考虑，当温度T从$\infty$逐渐降温，那么系统必定存在某个温度$T_c$，高于此温度时系统无磁性，低于此温度时，系统磁性逐渐加强。这个温度就是临界温度，也是相变点，系统从对称磁体转变为非对称磁体，而这就是对称性破缺，因为这种破缺不是外界扰动（如外加磁场）引起的，而是由内部的关联作用力造成的，所以称之为自发的对称性破缺。

上图就是对自发对称性破缺的定性描述，当逐渐降温到$T_c$时，系统磁性开始出现分化，要么向下要么向上，最终平均的磁化强度$\overline{s}$趋向于+1或-1。

我们感兴趣的问题主要有两个：第一，不同维度、不同分布的格点，其临界温度$T_c$是多少；第二，$T_c$附近，$\overline{s}$随温度$T$以什么样的幂指数$\alpha$趋近于$T_c$：
$$\overline{s}\sim (T_c-T{)}^{\alpha }$$

统计物理的思路

我们先考虑简单的9个格点的例子，实际格点数的量级为$10^{29}$。

假设格点耦合强度$J=1$，那么这个9格点体系的能量为：
$$E=[(-1+1)+(-2+1)+(2)+(2-1)+(-3+1)+(-1+2)+(-1+1)+(-1+2)+2]/2=2$$
第一个格点有两个相邻格点，右边的与其同向，耦合能为-1，下面的与其反向，耦合能为1；第二个格点有三个相邻格点，左和下与其同向，耦合能为-2，右边与其反向，耦合能为1。类似的可以计算其余格点的耦合能。最后除以2是因为每个相互作用重复计算了一次。而这一特定分布以某概率P出现：
$$P\propto e^{-E/kT}$$
对于9个格点的体系，总共有$2^9=512$种分布，每种分布的出现概率于其总能量有关，所以分布概率满足归一化条件。给定不同温度，我们可以计算出不同温度下平均磁化率的数学期望$\overline{s}$，得到$\overline{s}-T$的曲线。

但是对于粒子为$10^{29}$量级的格点，可能的分布有$2^{10^{29}}$种，根本不可能统计出结果。

一维的情况可以通过数学上的处理，最终可以提出N，并得到$T_c=0$，也就是说一维的伊辛模型不会有自发的对称性破缺，这是因为一维的格点只有两个相邻格点，相互作用太弱，不足以对抗热运动，始终表现为整体0磁化率的对称状态。

二维的情况下，如果用平均场近似的方法（具体可以参考林宗涵的热力学与统计物理），基本思想是将相互作用的耦合能转化为外磁场强度，这就可以用近独立的模型来计算配分函数，进而得到所有的统计量，获得的临界温度为 $T_c=\frac{2J}{k}$，平均磁化率：
$$\overline{s}\sim (T_c-T{)}^{1/2}(T\to T_c^{-})$$

1944年，昂萨格推导出了二维伊辛模型的严格解，临界温度$T_c=\frac{2.269J}{k}$，平均磁化率：
$$\overline{s}\sim (T_c-T{)}^{1/8}(T\to T_c^{-})$$

二、二维伊辛模型的精确解

平均磁化率 $\overline{s}$

这里只列出二维伊辛模型精确解的结论，推导过于复杂，定义$\beta \equiv \frac{1}{kT}$，则平均磁化率：
$$\overline{s}=\{\begin{array}{ll}0,& T>T_c\\ [1-\sinh (2\beta J{)}^{-4}{]}^{1/8},& T\le T_c\end{array}$$
令$\sinh (2\beta J)=0$可以解得：$T_c=\frac{2J}{k\ln (1+\sqrt{2})}\approx \frac{2.269J}{k}$，令$T=T_c-\delta T$，小量泰勒展开化简可以得到：
$$\overline{s}=[4\cdot \frac{2J}{k{T}_c}\cosh (\frac{2J}{k{T}_c})\cdot \frac{\delta T}{T_c}{]}^{1/8}=1.224[1-\frac{T}{T_c}{]}^{1/8}\sim (T_c-T{)}^{1/8}$$
当$T_c\to 0$时，容易得到结果为1，表面所有的格点同向，平均磁化率为1。

假设耦合强度$J$等于1开尔文温度下的热运动能量，即$J=k$，做出$\overline{s}-T$曲线如下：

平均能量和比热

另一个能够判断相变的参数是比热$C_v=\frac{d\overline{E}}{dT}$，这里的$\overline{E}$表示单个格点的平均能量，定性来看，当温度趋于0时，所有格点同向，$\overline{E}=-4/2=-2$，当温度趋于无穷时，格点方向随机，某格点四周平均有两个同向和两个方向，$\overline{E}=0$。其曲线如下(令$J=k$)：

这里的比热在临界温度时会突然增大，表面临界温度附近变化有个小温度变化，需要吸收极大能量，这也很符合相变的特点。具体的计算公式和matlab代码详见附录A。

虽然大体了解了相变的过程，以及理论上的精确解，我们能否通过实验的方式，验证这一结论呢？借助计算机模拟这一过程来验证结果呢？

三、二维伊辛模型模拟

因为不可能遍历所有的格点组合，我们只能利用采样的方式去计算平均能量，采样的条件应该是体系在某个温度下已经平衡。 计算机模拟的基本思想是，首先随机给定一种分布，在特定温度下，让体系趋向平衡，再在这个平衡体系中采样求平均。

• 假设体系有$20\times 20$的格点，初始时同一分布，相当于温度很低；
• 我们设定一个希望“加热”到的平衡温度$T_0$，接下来是模拟最关键的地方，如何改变格点的分布以趋向于设定温度$T_0$？
  1、我们先任意选择一个格点，计算改变这个格点的能量变化$\Delta E$，因为体系出现的概率正比于$e^{-E/kT}$，那么格点变化前后两个体系出现的概率比为$e^{-\Delta E/kT}$，或者说格点改变的概率与不改变的概率比为：$1:e^{-\Delta E/kT}$，那么格点需要改变的概率为$e^{-\Delta E/kT}$，因此我们产生一个(0,1)概率随机数，如果它小于$e^{-\Delta E/kT}$则选择改变格点；
  2、重复1的步骤，直到体系相对平稳，这个过程称为马尔可夫链，之后在平稳的体系下采样若干次并做统计平均，获得平均能量$\overline{E}$，平均磁化率$\overline{s}$，以及描述能量方差的比热$C_v$。
  3、设定另一个希望考察的温度，重复1、2步骤，获得该温度下的统计参数，并和理论值比较。

我们同样假设$J=k$，选取格点数为$20\times 20$。临界温度点附近，马尔可夫链长取5万次，采样数为25万次；其他温度点马尔可夫链长1万次，采样数为5万次。这是因为临界温度附近的涨落很大，需要更长的时间趋向平衡，需要更多的统计样本获得较准确平均值。详细的代码及解释可以参看附录B。

模拟平均磁化率 $\overline{s}-T$

可以看出平均磁化率在临界温度附近很不稳定，这是因为临界相变时涨落很大的缘故，高温时的磁化率不是严格的零，可能与格点数少和马尔可夫链较短有关系，如何确定$T_c$呢？通过平均磁化率求$T_c$比较困难，一般是通过比热$C_v$发散的位置确定$T_c\approx 2.3$，参考下一部分。

选取T=1.7~2.2的16个数据点，拟合曲线：
$$\ln \overline{s}\sim \alpha \ln (T_c-T)$$
得到$\alpha \approx 0.12,R^2=0.89$，这和理论值$1/8=0.125$相当接近。

模拟平均能量 $\overline{E}-T$

在临界温度附近进行了较密集的温度取点，而且加长了马尔可夫链，但是仍能看到较大的涨落，可以通过这个现象来确定临界温度$T_c\approx 2.3$。

最后，让我们欣赏一下格点从同一分布到临界温度的变化过程吧，为了便于观察，选择40X40的格点，马尔可夫链长为1万：

初始同一分布的格点，逐渐趋向于高温$T=5$下的平衡态，格点最后呈现随机分布：

初始同一分布的格点，温度降低至$T=3$的平衡态，格点最后呈现小块状：

初始无序分布的格点，温度降低到临界温度$T=2.3$时，格点最后呈现的块状增大。

初始无序分布的格点，温度降低到临界温度以下$T=2$，格点最后呈现的大的块状，说明已经发生了明显的相变。

初始无序分布的格点，温度降低更多至$T=1$，格点越来越趋向于同一分布。

附录

A、平均能量和比热的精确解：(前方高能)

定义$\beta \equiv 1/kT$
$$\overline{E}=-J\cot (2\beta J)\times [1+\frac{2}{\pi }A\cdot B(\lambda )]$$
$$\{\begin{array}{l}A\equiv 2\tanh (2\beta J{)}^2-1\\ B(\lambda )\equiv {\int }_0^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-{\lambda }^2\sin {\varphi }^2}}\\ \lambda \equiv \frac{2\sinh (2\beta J)}{\cosh (2\beta J{)}^2}\end{array}$$
帝国主义都是纸老虎，我们仔细发现，只要确定了温度$T$或$\beta$，那么可以依次确定$\lambda ,B(\lambda ),A,\overline{E}$，也就是平均能量和温度是一一对应的，最后通过求导得到比热$C_v=d\overline{E}/dT$。

%matlab code
clear;clc;
beta=0.1:0.01:1; %温度从10到1
for i=1:1:size(beta,2);%遍历beta
lambda=2.*sinh(2.*beta(i))./cosh(2.*beta(i)).^2;%计算lambda
phi=linspace(0,pi/2,1000);%求B的积分参数
b=1./sqrt(1-lambda.^2.*sin(phi).^2);
B=trapz(phi,b);%积分B(lambda)
A=2*tanh(2.*beta(i)).^2-1;
e_bar(i)=-coth(2.*beta(i)).*(1+2/pi.*A.*B); %每个格点的平均能量
end
%%
plot(1./beta,e_bar,'k','LineWidth',2);hold on;%E-T曲线
beta1=beta(2:end)/2+beta(1:end-1)/2;
cv=-beta1.^2.*diff(e_bar)./diff(beta); %对能量求导得到比热
plot(1./beta1,cv,'r','LineWidth',2);

B、蒙特卡洛马尔可夫链模拟二维伊辛模型相变过程

具体细节详见代码：

%matlab code
clear;clc;
n=10000;                       %马尔可夫链长度1万
ns=20;                          %20*20的格点 
beta_mc=(0.1:0.01:0.4);         %温度从10到2.5,链长1万，样品长5万
%T_mc=(2.1:0.01:2.4);          %第三批模拟温度设定，临界温度附近取点更密集，还要调整n=50000
%beta_mc=1./T_mc;
tic;                               %计时用，n=10000时，通常需要跑一分多钟
for jj=1:1:size(beta_mc,2)
X=sign(rand(ns,ns));        %所有格点方向一致，相当于从0度开始升温
%马尔可夫链长度为5万次
for j=1:1:n
    %随机选取一个格点，行列存储在index[1,2]
    index=unidrnd(ns,1,2);      
    % 利用周期性边界条件，分别计算格点上下左右四个点行列坐标
    tmp1=rem(index(1),ns)+1;tmp2=rem(index(1)+1,ns)+1;tmp3=rem(index(1)-1,ns)+1;
    tmp4=rem(index(2),ns)+1;tmp5=rem(index(2)+1,ns)+1;tmp6=rem(index(2)-1,ns)+1;
    % 计算改变格点方向后的能量变化
    cen=X(tmp1,tmp4);right=X(tmp1,tmp5);left=X(tmp1,tmp6);
    up= X(tmp2,tmp4);down= X(tmp3,tmp4);
    deE=2*cen*(right+left+up+down);
    % 判断是否改变格点
    if rand

20X20格点，从同一分布开始升温，分布进行了三批温度选择：

• $\beta =(0.1:0.01:0.4)$ 31个温度点，$T\in [2.5,10]$马尔可夫链长度为1万次，采样5万次。
• $T=(0.1:0.1:2.1)$ 21个温度点，$马尔可夫链长度为1万次，采样5万次。
• $T=(2.1:0.01:2.4)$ 31个温度点，马尔可夫链长度为5万次，采样25万次。