【算法图解】 之 [贪婪算法（贪心算法）] 详解

入门算法学习，看的第一本是深入浅出的《算法图解》一书，本博客是对《算法图解》一书的学习笔记，将书中的分享的算法示例用Python3语言实现。
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贪婪算法

• 贪婪算法（又称贪心算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。
• 贪婪算法很简单：每步都采取最优的做法。用专业术语说，就是你每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

贪婪算法工作原理

你希望在这间教室上尽可能多的课。如何选出尽可能多且时间不冲突的课程呢？

这个问题好像很难，不是吗？实际上，算法可能简单得让你大吃一惊。具体做法如下。

• (1) 选出结束最早的课，它就是要在这间教室上的第一堂课。

• (2) 接下来，必须选择第一堂课结束后才开始的课。同样，你选择结束最早的课，这将是要在这间教室上的第二堂课。

• 重复这样做就能找出答案！下面来试一试。美术课的结束时间最早，为10:00 a.m.，因此它就是第一堂课。
  

• 英语课不行，因为它的时间与美术课冲突，但数学课满足条件。最后，计算机课与数学课的时间是冲突的，但音乐课可以。
  

很多人都说，这个算法太容易、太显而易见，肯定不对。但这正是贪婪算法的优点——简单易行！

贪婪算法很简单：每步都采取最优的做法。在这个示例中，你每次都选择结束最早的课。用专业术语说，就是你每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

贪婪算法–案例

每个广播台都覆盖特定的区域，不同广播台的覆盖区域可能重叠。

如何找出覆盖全美50个州的最小广播台集合呢？听起来很容易，但其实非常难。具体方法如下。

• (1) 列出每个可能的广播台集合，这被称为幂集（power set）。可能的子集有2n
  个。
  
• (2) 在这些集合中，选出覆盖全美50个州的最小集合。
  • 问题是计算每个可能的广播台子集需要很长时间。由于可能的集合有2n个，因此运行时间为O(2n)。如果广播台不多，只有5～10个，这是可行的。
  • 但如果广播台很多，结果将如何呢？
  • 随着广播台的增多，需要的时间将激增。假设你每秒可计算10个子集，所需的时间将如下。
    

没有任何算法可以足够快地解决这个问题！怎么办呢？

贪婪算法可化解危机！使用下面的贪婪算法可得到非常接近的解。

• (1) 选出这样一个广播台，即它覆盖了最多的未覆盖州。即便这个广播台覆盖了一些已覆盖的州，也没有关系。
• (2) 重复第一步，直到覆盖了所有的州。
• 这是一种近似算法（approximation algorithm）。在获得精确解需要的时间太长时，可使用近似算法。

判断近似算法优劣的标准如下：

• 速度有多快；
• 得到的近似解与最优解的接近程度。

贪婪算法是不错的选择，它们不仅简单，而且通常运行速度很快。在这个例子中，贪婪算法
的运行时间为O(n^2)，其中n为广播台数量。

下面是解决这个问题的代码。

state_needed = {'mt', 'wa', 'or', 'id', 'nv', 'ut', 'ca', 'az'}  # 需要覆盖的州的集合

stations = {}                               # 用集合的形式记录广播台清单
stations["kone"] = {"id", "nv", "ut"}       # 表示：kone广播台可以覆盖id、nv、ut地区 
stations["ktwo"] = {"wa", "id", "mt"}       # 表示：ktwo广播台可以覆盖wa、id、mt地区 
stations["kthree"] = {"or", "nv", "ca"}
stations["kfour"] = {"nv", "ut"}
stations["kfive"] = {"ca", "az"}


finaly_stations = set()                       # 最终选择的广播台


while state_needed:                           # 循环需要覆盖的州的集合，直到覆盖完全，才停止循环

    best_station = None                       # 最合适的广播台
    best_states_covered = set()               # 记录覆盖的交集地区
    
    for station, states in stations.items():  # 遍历每一个广播台
    
        coverd = state_needed & states        # covered包含同时出现在‘需要覆盖’的和‘广播站覆盖’的那些州
        
        if len(coverd) > len(best_states_covered): # 检查该广播台覆盖的州是否比best_states_coverd 多
        
            best_station = station                  # 如果多，就选择这个station为最合适的广播台 

            best_states_covered = coverd            # 记录这次覆盖的交集地区

            state_needed -= coverd                  # 减少下次需要覆盖的地区
            
            finaly_stations.add(best_station)       # 将这个最优广播站添加到finaly_stations集合中



print(finaly_stations)

----------------------
{'kone', 'kfive', 'kthree', 'ktwo'}

运行时间