小波变换学习笔记（3）：小波函数、尺度函数与多分辨分析

前言
首先，我们需要泛函分析中的一些概念和术语。
还记得上篇博客中说的连续信号的离散小波变换吗，一个连续信号可以被拆解为多个版本的小波基与系数的乘积之和的形式，在泛函分析中，把这些多个版本的小波基称为一组基，也就是说这个信号是由一组基线性表示出来，数学表示如下。

同时这组基不光可以线性表示这个信号，通过改变系数还可以组合成为其他信号，我们把这组基能够组合的所有信号的集合称为这组基的信号空间或者函数空间，或称为该空间由这组基张成，数学表示如下，其中V就代表该空间。

尺度函数
为了使用多分辨的概念，我们先从定义尺度函数出发，再用尺度函数定义小波函数
我们给出一个尺度函数φ（t），我们可以定义一个它的平移版本的集合，数学表示如下，其中函数属于L的平方代表该尺度函数在时域上能量有限。

那么这些尺度函数我们就可以称它们为一组基，这组基的函数空间表示如下。

这意味着

接着，我们把这个尺度函数做尺度变换，得到它的一个新的版本，那么这个新的版本的多个平移变换版本组成的集合又可以成为新的一组基，这组基的函数空间如下。
公式1

如果j大于0，因为φ j，k（t）较窄并且平移的步长小，张成的空间较大，所以i它可以表示细节的信息，如果j小于0，φ j，k（t）较宽并且平移的步长大，张成空间较小，所以只能表示粗糙的信息。同时，不同尺度版本的尺度函数之间还有数学关系，如下图。
公式2
这意味着φ（t）可以用φ（2t）的平移加权和来表示出来，其中h（n）被称为尺度函数系数，是实数或者复数，既然一组基可以被一组尺度压缩变换后的基来表示，那么“老基”的函数空间自然也是被包涵在“新基”的函数空间的，数学表示如下。
或者表示为
公式3

用几何图可以这么表示

而当尺度函数无限压缩时，其张成空间就会越来越大，直至有限能量信号空间，即下图

小波函数
如果我们想要更好的描述或者参数化一个信号的重要特征，仅仅通过使用这一系列尺度函数来表示是远远不够的，我们还需定义一个不同的函数集，它可以组成不同尺度函数空间的差空间，而这个函数，就是我们说的小波函数ψ（t）。小波函数的函数空间表示为下图，与尺度函数的函数空间有如下数学关系。


其几何关系如下图。

同时，小波函数和尺度函数还有明确的数学关系，如下，其中h1（n）被称为小波函数系数。

也就是说，小波函数可以由尺度函数的平移加权和表示，同时由上式也可以推出不同尺度下的小波函数的关系，如下。

基于上述的分析，我们知道有限能量信号空间可以有多种表示，如下图。



也就是说，由于初始空间的尺度是任意的，我们既可以选择较高的分辨率，比如上面的第二个式子，选V10作为初始尺度空间，也可以选择较低的分辨率，比如第三个式子，选V-5作为初始尺度空间。
这样话，对于一个属于有限能量信号g（t），因为它属于有限能量信号空间，我就可以按照自己的意愿选取不同的基来对其进行分解，数学表示如下。
公式4
其中j0是我们任意选择的，我们既可以像上面第一个式子一样选10，也可以选0，或者-5，在当j0选取合适时，在左侧的第一个求和部分组成了原信号的主干信息，而右侧的第二个求和部分组成了原信号的细节信息，可能大家听到这里会有点晕，下面我说说自己的理解带着大家捋一遍。
相信大家都有玩过乐高积木，其实它与离散小波变换是有点相似的，我们用离散小波变换表示连续信号的过程，就好比我们用一块块的小积木来搭建某一个实物，这里的实物就是我们要表示的信号，而小积木就是我们选取的小波基。由于我们选择搭建的实物不同，所以需要根据其特点来选择合适形状的积木，这就像我们挑选小波基的过程。而对尺度函数进行尺度变换后得到新的尺度函数（数学表示为公式1）就好比把一个小积木进行比例变换，把它缩小几倍，或者放大几倍，而未变换的积木自然可以由变换后的比例更小的、精致的积木拼成（对应公式2），并且更小的积木，由于它更加的“精细”，所以比起那些大积木它能够拼成的实物种类更多（对应公式3），而小波函数就像是另一种小积木，它主要负责搭建实物的一些细节部分，我们暂且称其为装饰积木，有了它，我们可以在搭建实物时搭建地更加“逼真”、“精致”。那么对公式4，我们就可以理解为，在搭建实物时，先用一些积木（对应尺度函数）搭建起这个实物的骨架，再用装饰积木（对应小波函数）搭建一些细节部分，同时，对于同一个要搭建的实物，我们有多种搭建方法（对应公式4中j0的选取），我们可以在搭建骨架时搭的尽可能接近实物，这样在搭建细节时使用的装饰积木就比较少，同样的，我们也可以把骨架搭建的比较粗糙，这时我们就要用更多的装饰积木来搭建细节，而这就是多分辨分析，所谓多分辨分析，就是对同一个信号，我们根据选取的小波函数、尺度函数的不同，可以有多种分解方式，但是统一的，尺度函数对应信号的主干信息，小波函数对应细节信息，而且由于j0数值的不同，主干信息有多么“主干”？细节信息有多么“细节”？这也是不同的。
这篇博客中，我们讲了离散小波变换中的小波函数、尺度函数、多分辩分析等概念，我们知道了同一个信号可以有多种展开方式，但是在实际应用中，我们并不是非常关心我们的尺度函数、小波函数是怎么样的，我们更关心的是小波函数、尺度函数的系数，因为正是这些系数反映了信号的主干和细节信息，那么如何可以在不需要直接处理小波函数尺度函数的前提下来求得其系数呢?这就是著名的Mallet算法，我们在下篇博客中再讲。