树和二叉树的知识点总结

什么是树？

• 树是一种非线性的结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。我们平常在生活中所看到的树是根在下，枝叶在上面。而对于数据结构中的树则是根朝上，枝叶朝下，正好与生活中的树的结构相反。
• 树的特点
  • 每个结点有零个或多个子节点
  • 每一个非根结点有且只有一个父节点
  • 只有根节点没有父节点
  • 除了根结点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树
    叶子节点点
    接下来我们从这个图来说明树的一些概念
  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。如上图A的度为6，B的度为2。
  • 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶子节点。如上图C、D、F为叶子节点
  • 分支节点或非终端节点：度不为0的节点。如上图A、B、E为分支节点。
  • 双亲结点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。注意每一个非根节点有且只有一个，如上图A是B、E的父亲节点，B是C、D的父亲节点、E是F的父亲节点。
  • 孩子节点或者子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。它们是紧挨着的，就像我们人类的父子，父亲和爷爷是相对于两层关系，不能隔辈。如果隔辈那就是子孙和祖先 的关系了。如上图的B是A的孩子节点
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。如上图B和E、C和D是兄弟结点
  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。如上图的D和F是堂兄弟节点。
  • 节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，依此类推。
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。如上图：树的度为2。
  • 树的高度或深度：树中节点的最大层次。如上图树的高度为3。
  • 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有结点。如上图A是所有节点的祖先。
  • 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是A的子孙。
  • 森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林。如上图只有一个树也是森林。
  • 有序树与无序树：两棵相同的树如果对其中的一棵树交换子树的位置，如果认为两棵树是同一颗树则是无序树。交换位置之后如果不是同一棵树的话则是有序树
• 树的表示
  • 表示一棵树：主要是找节点、节点之间的关系。
  • 表示方式：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等
  • 双亲表示法

  struct Node{
  int data;//当前节点的值域
  struct Node* parent;//当前节点的双亲位置
  }
  

  • 孩子表示法:孩子给几个主要取决于树的度是多少。
    加入这棵树的度为2。

  struct Node{
  int data;
  struct Node* child1;
  struct Node* child2;
  }
  

  • 孩子兄弟表示法

  struct Node{
  	struct Node* child;
  	struct Node* brother;
  	int data;
  }
  

  二叉树

  • 二叉树概念
    • 空树
    • 根节点+根节点的左子树+根节点的右子树
  • 二叉树的特点
    • 每个节点最多只有两棵子树，二叉树不存在度为2的节点
    • 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒
  • 特殊的二叉树
    • 满二叉树
      个数为
    • 完全二叉树
      
    • 非完全二叉树
      
  • 二叉树的性质
    • 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
    • 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1(k>=0)
    • 对任何一棵二叉树，如果其叶节点个数为n0,度为2的非叶结点个数为n2,则有n0 = n2+1
    • 具有n个结点的完全二叉树的深度K为log2^(n+1)上取整
    • 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
      • 若i>0,双亲序号：(i-1)/2;
        i=0，i为根节点编号，无双亲结点
      • 若2i+1i+1，否则无左孩子
      • 若2i+2i+2,否则无右孩子
  • 二叉树的存储结构
    • 顺序结构：用数组表示，前提是二叉树要为一棵完全二叉树
    • 链式结构：用链表表示二叉树