武汉理工大学-数值分析-2019年期末复习提纲
数值分析2019年期末复习提纲
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- 考试相关
- 注意事项
- 分数划分
- 考试时间
- 第一章
- 解析解、数值解
- 精确解、近似解
- 误差来源
- 模型误差、观测误差
- 截断误差（方法误差）
- 舍入误差
- 绝对误差、相对误差：
- 有效数字（重点）
- 误差估计
- 稳定性、收敛性
- 病态问题
- 计算条件数
- 计算方法优化
- 第二章
- 为什么插值
- 如何插值
- 基函数、系数
- 拉格朗日插值
- 牛顿插值
- 龙格现象
- 赫尔敏特插值
- 分段线性插值
- 三次样条插值（重点）
- 第四章
- 数值积分
- 复合梯形、复合辛普森公式
- 科特斯公式
- 龙贝格
- 自适应积分
- 高斯求积（重要）
- 第五章
- 线性方程组直接解法
- LU分解（另一角度高斯消去）
- 平方根法
- 追赶法
- 范数
- 条件数
- 第六章
- 雅各比-高斯赛德尔
- 雅各比(提x迭代)
- 高斯塞德尔(代新分量迭代)
- 超松弛
- 第七章
- 二分法
- 不动点迭代
- 阿特金加速
- 牛顿法
考试相关
注意事项
允许携带计算器
卷面分占总成绩的70%
分数划分
单选10*2
填空10*2
判断10*1
客观5*10
考试时间
12月29日
第一章
解析解、数值解
解析解：可能等于精确解
数值解，是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式。数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。
解析解，是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值。比如一元二次方程求根公式。
精确解、近似解
追求满足精确度要求的近似解
误差来源
误差不避免
模型误差、观测误差
数值分析不考虑
截断误差（方法误差）
算法迭代终止产生的误差
舍入误差
计算机存储数值位数有限导致的误差，在后续计算中该误差又可能产生新误差（与算法稳定性有关）
绝对误差、相对误差：
实际情况下一般不要求计算具体值，因为精确值未知，一般要求绝对\相对误差限（知道误差的大致范围）
有效数字（重点）
考法：给数值，要求判该数值有几位有效数字（数值计算误差PPT9）推荐四舍五入法判断。
误差估计
对含有误差的数值进行加减乘除导致的误差限变化（P7常见公式）
含有误差的数值代函数导致的误差限变化P8公式
参考例题：P8-eg4
稳定性、收敛性
P10定义
理解含义
病态问题
由于问题本身不稳定，输入量的少量改变会导致结果的大幅度抖动。
计算条件数
P10公式
参考例题：数值计算误差PPT21（正反求导致误差变化）
计算方法优化
避免相近数字相减导致有效数字下降
避免分子数量级过度大于分母，导致溢出
避免“大数吃小数”（调整顺序使计算顺序由小到大）
尽量使用计算步骤较少的算法，减少舍入误差（eg：秦九韶算法）
考法：以下几种方法，从避免误差的角度来看，最合理的是哪种？
第二章
为什么插值
减少过多取样带来的成本\预测
如何插值
- 多项插值（计算机友好）给样本点，求值
- 三角插值（计算机不友好）
- 有理插值（计算机不友好）
基函数、系数
了解分别是什么
拉格朗日插值
P25公式
推荐先写分母，跳过Xk项，再写分子（Xk改为X）
性质：
- N次对n<=N次绝对精确（多项式插值、拉格朗日插值PPT23）
因为误差为n+1阶倒数，n阶以下求导直接为0 - 基函数相加，值为1
牛顿插值
P31公式
优点：有继承性，改变插值点不需要重算，与插值点顺序无关（均差对称性）。
基函数：W0，W1…
系数：差商（考试时列表格计算即可）
优化：在插值点等距时可以计算差分代替差商，好处在不用计算除法 P34公式
误差估计（余项）：Rn（X）=f（X）－Ln（X）
其中余项中，柯西值不确定导致误差为一个范围。（牛顿插值PPT22）
龙格现象
并不是插值函数次数越高越好
赫尔敏特插值
本次考试不做要求
分段线性插值
特点：简单，有效，但性态不好（插值点不连续，无导数）
优化：三次赫尔敏特插值
最优化：三次样条插值
三次样条插值（重点）
P43公式
考法：非大题
注意事项：使用条件（三次样条PPT3）、边界条件（三次样条PPT7）
求解过程：三次样条PPT-16
参考例题：P45
第四章
数值积分
求积系数、求积节点、代数精度（牛顿-科特斯公式PPT7）
参考例题：（牛顿-科特斯公式PPT9）（牛顿-科特斯公式PPT10）
复合梯形、复合辛普森公式
P106公式、P107公式
参考例题：P108-eg3
科特斯公式
等距时系数固定，第八行时，由于出现负数，造成算法不稳定
要求：节点距离相等
（P104表格一二三行）
龙贝格
梯形序列，递推复用，不断二分
P110递推公式
自适应积分
不同区间使用不同步长（系数和始终为1）
高斯求积（重要）
n=1，节点=2（P122表）
代数精度：在所有机械求积公式中最高
参考例题：P123－eg10（代换变量，用表求解）
第五章
线性方程组直接解法
条件：主元全不为0
数值优化：全主元，列主元
LU分解（另一角度高斯消去）
P147步骤
考法：给一个矩阵，要求进行LU分解
平方根法
P157公式+表格
掌握使用的前提条件（对称正定）
追赶法
P160过程
考法：给三对角矩阵，要求使用追赶法分解
参考例题：P177－eg9，PPT18
范数
P162、P165定义
考法：1范数，无穷范数
条件数
P169定义
用来判断系数矩阵是否病态
第六章
雅各比-高斯赛德尔
收敛条件:P190
-
充分必要条件：谱半径(max特征值)<1
-
充分条件：范数<1
雅各比(提x迭代)
参考例题：P181
高斯塞德尔(代新分量迭代)
参考例题：P189
超松弛
收敛条件：P196
-
0 <松弛因子< 2
-
对称正定（各阶顺主子式>0）
参考例题:P195
第七章
二分法
考法：求解迭代多少次能达到要求的精度PPT10
参考例题：P214
精度到第n位，则(b-a)/2^(k+1)<=0.5*（1e-n）
不动点迭代
P216例题
收敛性判断：P216
考法：给不同迭代，判断哪些收敛
阿特金加速
了解原理P220
牛顿法
f(X)、fai(X)要分清（P223）