初等模型---核军备竞赛

在20世纪六七十年代的冷战时期,美苏两个核大国都声称为了保卫自己的安全，而实行所谓核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2010年4月8日,美国与俄罗斯领导人在捷克首都布拉格签署新的削减战略武器条约。根据这项新条约，美国和俄罗斯将在7年内将各自部署的战略核武器削减到不超过1550枚，并把各自的战略核武器运载工具削减到不超过700枚。
在什么情况下双方的核军备竞赛才不会无限扩张而存在暂时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化?本文·将介绍一个定性的模型,在给核威慑战略作出一些
合理、简化的假设下，对双方核武器的数量给以图形(结合式子)的描述，粗略地回答上述问题。
模型假设
以双方的(战略)核导弹数量为对象，描述双方核军备的大小。
假定双方采取如下同样的核威慑战略:
1.认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部核导弹攻击已方的核导弹基地。（也就是都认为对方可能发起核武器战争）
2.己方在经受第一次核打击后，应保存有足够的核导弹，给对方的工业、交
通中心等目标以毁灭性的打击。
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地，且摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力所决定。（注意是攻击核基地！！！）
图的模型
记$y=f(x)$为甲方拥有$x$枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所需的最小核导弹数，$x=g(y)$为乙方拥有$y$枚核导弹时，甲方采取核威慑战略所需的最小核导弹数，不妨让我们看看曲线$y=f(x)$应该具有什么性质。
当$x=0$时$y=y_0$，$y_0$是甲方在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，乙方为毁灭甲方的工业、交通中心等目标所需的核导弹数，以下简称乙方的威慑值；当$x$增加时$y$应随之增加，并且由于甲方的一枚核导弹最多只能摧毁乙方的一个核导弹基地，所以$y=f(x)$不会超过直线：

根据$y=f(x)$的定义,当$y\ge f(x)$时乙方是安全的(在核威慑战略意义下)，
不妨称该区域为乙安全区，曲线$y=f(x)$为(临界情况下的)乙安全线。类似地，$x\ge g(y)$的区域为甲安全区，$x=g(y)$为甲安全线。两个安全区的公共部分即为双方安全区，是核军备竞赛的稳定区域，而$P$点的坐标$x_m$和$y_m$则为稳定状态下甲乙双方分别拥有的最小核导弹数，$P$点是平衡点。
平衡点怎样达到呢？不妨假定甲方最初只有$x$。枚导弹(威慑值)，乙方为了自已的安全至少要拥有$y_1$枚导弹，见图2，而甲方为了安全需要将导弹数量增加到$x_1$，如此下去双方的导弹数量就会趋向$x_m$，$y_m$。
模型的精细化
为了研究$x_m$和$y_m$的大小与哪些因素有关，这些因素改变时平衡点如何变动，我们尝试寻求$y=f(x)$和$x=g(y)$的具体形式。
若$x<y$，当甲方以全部$x$枚核导弹攻击乙方的$y$个核基地中的$x$个时，记每个基地未被摧毁的概率为$s$，以下简称乙方的残存率，则乙方(平均)有$sx$个基地未被摧毁，且有$y-x$个基地未被攻击，二者之和即为乙方经受第一次核打击后保存下来的核导弹数，它应该就是图的模型中的威慑值$y_0$，即$y_0=sx+y-x$
于是：

当$x=y$时显然有$y_0=sy$，所以有：

若$y<x<2y$，当甲方以全部$x$枚核导弹攻击乙方的$y$个核基地时，乙方的$x-y$个将被攻击2次，其中$s^2(x-y)$个未被摧毁，且有$y-(x-y)=2y-x$个被攻击1次，其中$s(2y-x)$个未被摧毁，二者之和即为图的模型中的$y_0$，即$y_0=s^2(x-y)+s(2y-x)$，于是：


虽然上述过程可以继续下去，但是如果我们允许$x，y$取连续值，考察$x=ay$，$a$为大于零的任意实数，表示乙(临界)安全条件下甲乙双方导弹数量之比，那么由$x=y$时的(3)式和$x=2y$时的(5)式可以设想$y=f(x)$的形式为：

若威慑值$y_0$变大，则曲线整体上移，且变陡；若残存率$s$变大，则曲线变平。甲安全线$x=g(y)$有类似的性质。利用这些性质可以用上述模型解释核军备竞赛中平衡点$P(x_m，y_m)$的变化。
模型解释
1.若甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,则乙方的威慑值$y_0$将变大，而其他因素不变，那么乙安全线$y=f(x)$的上移会使平衡点变为$P^{\prime }(x_m^{\prime },y_m^{\prime })$，如图4。显然有$x_m^{\prime }>x_m,y_m^{\prime }>y_m$，说明虽然甲方的防御是被动的，但也会使双方的军备竞赛升级。

2.若甲方将原来的固定核导弹基地改进为可移动发射架，则乙安全线$y=f(x)$不变(原有的导弹数量依旧可以达到第一次核攻击的目标)，而甲方的残存率变大(威慑值$x_0$不变)，于是甲安全线$x=g(y)$向$y$轴靠近，平衡点变为$P^{\prime }(x_m^{\prime },y_m^{\prime })$，如图5。显然有$x{’}_m<x_m，y_m^{\prime }<y_m$，说明甲方的这种单独行为，会使双方的核导弹减少。

3.若双方都发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标，设$x，y$仍为双方核导弹的数量，则双方的威慑值$x_0，y_0$和残存率均减小（威慑值变小的原因是现在以更少的量就可以达到威慑的效果）。乙安全线由于$y_0$的减小而下移且变平；又由于残存率的变小，使曲线变陡。甲安全线有类似的变化，二者的综合影响则可能使平衡点变为$P^{\prime }(x_m^{\prime }，y_m^{\prime })$或$P"(x{"}_m，y{"}_m)$，出现图6所示的两种情况，究竟会使双方的核导弹增加还是减少，需要更多的信息及更详细的分析。