欧拉角与旋转矩阵转换 matlab 函数 angle2dcm dcm2angle 方向余弦矩阵 机器人坐标变换

在工业机器人坐标变换中，旋转矩阵与欧拉角有几个概念比较容易混淆，根据自己的理解整理如下，如有问题，欢迎指正

因为欧拉角相对旋转矩阵更为直观，直接用绕坐标轴的旋转可以得到，因此将旋转矩阵转换为欧拉角会方便分析

在位姿变换相关资料中（可参照 J. J. Craig 《Introduction to Robotics》），位姿矩阵的描述如下

上面这样的位姿描述，指的是主动旋转矩阵，即向量或子坐标系绕坐标轴主动旋转的旋转矩阵，也是机器人坐标变换通常会采取的旋转方式，写成 matlab 函数如下（a输入‘X’,'Y','Z'，B输入旋转角度）

function y = Rot3( a ,B )
b = deg2rad(B);
switch a
    case 'X'
        y=[1,0,0;0,cos(b),-sin(b);0,sin(b),cos(b)];
    case 'Y'
        y=[cos(b),0,sin(b);0,1,0;-sin(b),0,cos(b)];
    case 'Z'
        y=[cos(b),-sin(b),0;sin(b),cos(b),0;0,0,1];
end

与此区分的是被动旋转矩阵，向量或子坐标系不变，基坐标系旋转的旋转矩阵，这类被动旋转矩阵与上面的三个矩阵互为转置（互为逆矩阵，对于旋转矩阵是等价的），也可以理解为被动旋转矩阵让向量或子坐标系旋转到基坐标系位置，而 matlab 中的 dcm2angle，angle2dcm 均对应的是被动旋转：

Mat_t = [cos(pi/3),-sin(pi/3),0;sin(pi/3),cos(pi/3),0;0,0,1];
[ra,rb,rc]=dcm2angle(Mat_t,'ZYX'); 
%此处 ra 为 -60 度，可见 Matlab 中采用的是被动旋转，sin的符号和主动旋转矩阵相反

因此，在采用matlab 中 dcm2angle 计算欧拉角时，需要注意对旋转矩阵进行转置（R3'），以‘ZYX’欧拉角为例：

R3 = Rot3('Z',20)*Rot3('Y',60)*Rot3('X',40)
[ra,rb,rc]=dcm2angle(R3','ZYX'); 
M3 = Rot3r('Z',ra)*Rot3r('Y',rb)*Rot3r('X',rc)
d=[ra,rb,rc]./pi.*180

这样，计算结果  d = 20.0000   60.0000   40.0000  ，与常用主动旋转矩阵一致，R3与M3也一致，如果R3‘转置去掉，改为

[ra,rb,rc]=dcm2angle(R3,'ZYX'); 

则结果为从R3转换到基坐标的欧拉角，对应M3为R3的逆矩阵

需要注意的是，主动/被动旋转不等同于基坐标系、连体坐标系的变换，在主动旋转矩阵下，仍然要区分按照固定基坐标系坐标轴，还是按照旋转后的连体坐标新坐标轴旋转，按照右乘连体左乘基的方式进行计算