动态规划经典题目

1.最长回文字串。

    用二维数组更新状态。table[i][j]表示第i个字符到第j个字符的字串是否为回文字串。

    初始化为false，table[i][i]为true，一开始检查相邻的两个字符是否相等。

    从长度为3开始自底向上递推，递推式为:

   if(table[i+1][j-1]==true && table[i]==table[j])

        table[i][j]==true;

 2.最大子数组和

   用两个变量更新状态：subsum:判断当前的b[i]加入到子数组的值。sum：最大子数组和。

   subsum=max(b[i],subsum+b[i]).  //如果当subsum<0时，那么就舍弃前面的和，重新以b[i]开始计和。

   sum=max(sum,subsum).  //比较当前子数组和和最大子数组和的大小。

3.切割成回文数

  两次递归

  一是p[i][j]判断从i到j是否为回文

  二是f[i]=min{f[i],f[j]+1] (i<=i

4.最长公共子序列

5.最长子串

6.最长递增子序列

解法一：最长公共子序列法：

仔细思考上面的问题，其实可以把上面的问题转化为求最长公共子序列的问题。原数组为A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，下一步，我们对这个数组进行排序，排序后的数组为A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}。我们有了这样的两个数组后，如果想求数组A的最长递增子序列，其实就是求数组A与它的排序数组A‘的最长公共子序列。我来思考下原问题的几个要素：最长、递增、子序列（即顺序不变）。

递增：A‘数组为排序数组，本身就是递增的，保证了两序列的最长公共子序列的递增特性。

子序列：由于A数组就是原数组，其任意的子序列都是顺序不变的，这样就保证了两序列的最长公共子序列的顺序不变。

最长：显而易见。 

解法二：动态规划法（O(N^2)）

既然是动态规划法，那么最重要的自然就是寻找子问题，对于这个问题，我们找到他的子问题：

对于长度为N的数组A[N] = {a0, a1, a2, ..., an-1}，假设假设我们想求以aj结尾的最大递增子序列长度，设为L[j]，那么L[j] = max(L[i]) + 1, where i < j && a[i] < a[j], 也就是i的范围是0到j - 1。这样，想求aj结尾的最大递增子序列的长度，我们就需要遍历j之前的所有位置i（0到j-1），找出a[i] < a[j]，计算这些i中，能产生最大L[i]的i，之后就可以求出L[j]。之后我对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度，这些长度的最大值，就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列。

时间复杂度：由于每一次都要与之前的所有i做比较，这样时间复杂度为O(N^2)

7.背包问题

1. for(int i = 1; i <= n; i++)
2. {
3. for(int j = 0; j <= W; j++)
4. {
5.   if(j < w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
6.   else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);
7. }