高级数据结构---二叉树

树是一种一对多的数据结构，之前的数组，栈这些都是一对一的数据结构。

树是n个结点的有限集。n=0称空树。在任意一棵非空树中：有且仅有一个根（root）结点；n>1时，其余结点可分为m个互不相交的的有限集，其中每个集合又是一棵树，称为根的子树。

 

前面三个都是树，最后一个不是树，因为最后一个的数据相交了。

树结构中的术语：

以下图为例

 

结点：树上面的元素

父子关系：结点之间相连的边

子树：当结点大于1时，其余的结点分为的互不相交的集合称为子树.

度：一个结点拥有的子树数量称为结点的度(A是root结点度是2，B的度是2，D的度是1)

叶子：度为0的结点（H,E,F,G）

孩子：结点的子树的根称为孩子结点

双亲：和孩子结点对应，一个孩子只有一个双亲(A是B的双亲)

兄弟：同一个双亲结点（B,C）

森林：由多个互不相交的树构成深林

结点高度：结点到叶子结点的最长路径（A的高度3，B的高度2，H的高度0）

结点深度：根结点到该结点的边个数（B结点深度1，H结点深度3）

结点的层数：结点的深度加1

树的高度：根结点的高度

树的深度：树的高度+1

树的表示方法：

双亲表示法：由孩子来记住双亲的位置

public class TreeNode {
    private T data;
    private TreeNode parent;
    
}

 

孩子表示法：由双亲来记住所有孩子的位置

public class TreeNode {
    private T data;
    private TreeNode leftChild;
    private TreeNode rightChild;
}

 

二叉树：

二叉树是由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树构成。二叉树的每个最多有两棵子树。也就说二叉树每个结点的度是不会超过2的。

比如上面的ABCDEFGH就是一棵二叉树。二叉树非常适合用于每个阶段都存在两种结果的情形的建模。比如开关，01，真假，上下，对错，正反，选不选（前面动态规划分析的那个图）

特殊的二叉树：

斜树：所有结点都只有左子树的叫做左斜树，所有结点只有右子树的叫做右斜树

     

 满二叉树：所有结点都存在左右子树，并且所有的叶子都在同一层

 

完全二叉树：每一层的叶子结点都是相邻的没有间隔，满二叉树也是一种特殊的完全二叉树

             

 

后面的就不是完全二叉树，因为E和G不相邻了。完全二叉树可以基于数组存储。前面也有说到数组可以基于下标查询，而且它在内存中是连续，CPU有会预读相邻的区域的。

完全二叉树怎么用数组存储呢？

双亲索引为i，那么它的左孩子就是2i，右孩子就是2i+1

比如上面这个完全二叉树转换成数组表示：

 

 

F是C的左孩子：C在3，F在6,刚好是2n

非完全二叉树也用数组存储的话，会导致很多内存浪费，分配了却没有使用。

 

二叉树的遍历：

遍历如下这个二叉树：

 

先来用代码来构建这棵二叉树：

 

    /**
     * 构造二叉树
     * @param dataList
     * @param 
     * @return
     */
    public static  TreeNode createBinaryTree(LinkedList dataList) {
        TreeNode node = null;
        if (dataList == null || dataList.isEmpty()) {
            return null;
        }
        T data = dataList.removeFirst();
        if (data != null) {
            node = new TreeNode(data);
            node.setLeftChild((createBinaryTree(dataList)));
            node.setRightChild((createBinaryTree(dataList)));
        }
        return node;
    }

 

调用方式：

        LinkedList inputList = new LinkedList<>(
                Arrays.asList(new String[]{"A","B","D","H",null,null,null,"E",null,null,"C","F",null,null,"G"}));
        TreeNode treeNode = createBinaryTree(inputList);

调用里面传的部分null值，是因为有些结点没有孩子结点，比如H，根据写的构造树方法（createBinaryTree）的逻辑传入合适的null值。

 

遍历有关键点:不管哪种遍历，按照其顺序遇根输出

前序遍历：根 左 右

按照根左右的顺序，遇根输出，再去找左

上面这棵树的结果应该是ABDHECFG

因为遍历的时候 对于每个节点的操作都是一样的，所以我们首先想到的就是使用递归

    /**
     * 前序遍历 根 左子树 右子树
     * @param node
     */
    public static void preOrderTraversal(TreeNode node) {
        if(node == null){
            return;
        }
        //遇根先输出，再去找左右
        System.out.print(node.getData());
        preOrderTraversal(node.getLeftChild());
        preOrderTraversal(node.getRightChild());
    }

 

也可以利用栈的特性来实现递归回溯的功能

    /**
     * 利用栈前序遍历二叉树
     * @param root
     */
    public static  void preOrderTraversalByStack(TreeNode root) {
        Stack> stack = new Stack<>();
        TreeNode node = root;
        while(node != null || !stack.isEmpty()) {
            //节点不为空，遍历节点，并入栈用于回溯
            while(node != null) {
                System.out.print(node.getData());
                stack.push(node);
                node = node.getLeftChild();
            }
            //没有左节点，弹出该栈顶节点（回溯），访问右节点
            if(!stack.isEmpty()) {
                node = stack.pop();
                node = node.getRightChild();
            }
        }
    }

 

中序遍历：左 根 右

HDBEAFCG

    /**
     * 二叉树中序遍历 左子树 根 右子树
     * @param node   二叉树节点
     */
    public static void inOrderTraversal(TreeNode node){
        if(node == null){
            return;
        }
        //先找左再输出根,再去找右
        inOrderTraversal(node.getLeftChild());
        System.out.print(node.getData());
        inOrderTraversal(node.getRightChild());
    }

 

后序遍历：左 右 根

HDEBFGCA

    /**
     * 二叉树后序遍历  左子树 右子树 根
     * @param node   二叉树节点
     */
    public static void postOrderTraversal(TreeNode node){
        if(node == null){
            return;
        }
        //先找左右，最后输出根
        postOrderTraversal(node.getLeftChild());
        postOrderTraversal(node.getRightChild());
        System.out.print(node.getData());
    }

 

层次遍历：按层来遍历

ABCDEFGH

层次遍历的时候，利用队列的特性，将所有的孩子依次入队进行操作。

 

    public static  void levelOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Queue queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);  //入队
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll(); //取出
            if (node != null) {
                System.out.print(node.getData());
                queue.offer(node.getLeftChild());   //左孩子入队
                queue.offer(node.getRightChild());  //右孩子入队
            }
        }
    }