贝塞尔校正（Bessel's Correction）

       在学习概率论与数理统计的相关知识时，大家肯定会听到”贝塞尔校正（Bessel's Correction）“这个名词，这是德国天文学家，数学家Friedrich Bessel在进行天体测量学研究时提出的一个方法。可能大家看到一个以人名命名的概念就会觉得很难，其实这只是一个与统计学的方差和标准差相关的一个修正方法而已。下面我们来具体讲解一下。

        首先列出几个熟悉的公式：依次是 

- 总体标准差（standard deviation）

- 样本标准差（sample standard deviation）

- 总体方差（standard variation）

- 样本方差（samplevariation）

       以上方差与标准差的区别是，标准差是由方差取开平方得到的，公式中的具体含义在这里不多加讨论，我们主要说明为什么会出现 n-1 这一项。

       当我们对数据总体进行统计时，由于每一个数据都被使用到，所以计算得到的标准差和方差是能够准确体现整个数据集特征的。而当从总体中提取出某个样本时，该样本当中的数据在一定程度上会集中在某个范围之中，由此计算出来的标准差和方差不能准确体现出数据总体的情况，通常来说得到的结果会比总体的要小。

       举一个例子，如果一个数据集满足高斯分布（Normal Distribution），那当我们提取样本的时候，数据基本上会集中在中间的部分，而边缘值的数目可能会比较少，所以最后得到的样本方差和样本标准差会比总体要小。

       为了修正这个偏差，在计算样本的方差和标准差时，我们将使用 n-1 代替 n。这样处理后最直接的结果是，公式中的分母变小，得到的结果将会变大，能够更加准确地通过该样本预测总体的情况。

       但是，这里有几点需要特别注意的：

1. 这个校正方法会增大预测中的均方误差；

2. 通常使用样本估计总体时，我们也无法得到总体的平均值，所以运算使用的平均值一般是通过样本数据得到的。求该平均值时我们还是除以 n ， 而不是 n - 1；

3. 通过上面第2点得到的对总体方差的预测属于带有偏差的方差估计。