凑矩阵的一些计算

目标

凑出下面矩阵的几个因子，可解释每个因子的意义
$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

结果

$$n\underset{(1)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{(n-f)n}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(2)}{\left[\begin{array}{cccc}\frac{-2}{l-r}& 0& 0& \frac{l+r}{l-r}\\ 0& \frac{-2}{b-t}& 0& \frac{b+t}{b-t}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(3)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{n}& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(4)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& \frac{1}{n}\end{array}\right]}\cdot \underset{(5)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{2nf}{f+n}\end{array}\right]}$$

这样分解出来的因子，几何意义就比较好解释。但是这又有什么用呢？

矩阵(1)是纯粹为了拼凑而得到的；
矩阵(3)、(4)、(5)是从跟中心投影最近似的透视(3)和不同的放缩的复合得到的；
矩阵(2)严格计算，则是从另外一篇博客的练习题得到；灵活使用射影几何基本定理。所有的代数计算运算量都比较大，而且是符合计算，借助符号计算工具推导完成。

矩阵分解（或拼凑）等式

分解不唯一，所以，每种分解都是一种拼凑

$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{n-f}& \frac{2nf}{n-f}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]=n\underset{(1)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{n+f}{(n-f)n}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(2)}{\left[\begin{array}{cccc}\frac{-2}{l-r}& 0& 0& \frac{l+r}{l-r}\\ 0& \frac{-2}{b-t}& 0& \frac{b+t}{b-t}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(3)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{n}& 1\end{array}\right]}\cdot \underset{(4)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& \frac{1}{n}\end{array}\right]}\cdot \underset{(5)}{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{2nf}{n+f}\end{array}\right]}$$

OpenGL的GLFrustum()函数中所谓投影矩阵的几何意义，从纯粹代数的角度看，不像官方教材里作者初期望的那样，而是对应于另外一种或一些若即若离但不太一样的几何意义。这就是进行这个矩阵分解想要说明的初衷。