时间序列分析 - 移动平均SMA, WMA, EMA(EWMA) 之理论公式

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移动平均（英语：moving average，MA），又称“移动平均线”简称均线，是技术分析中一种分析时间序列数据的工具。最常见的是利用股价、回报或交易量等变数计算出移动平均。

移动平均可抚平短期波动，反映出长期趋势或周期。数学上，移动平均可视为一种卷积。

1）SMA

简单移动平均（英语：simple moving average，SMA）是某变数之前n个数值的未作加权算术平均。例如，收市价的10日简单移动平均指之前10日收市价的平均数。若设收市价为至，则方程式为：

当计算连续的数值，一个新的数值加入，同时一个旧数值剔出，所以无需每次都重新逐个数值加起来：

2) WMA

加权移动平均（英语：weighted moving average，WMA）指计算平均值时将个别数据乘以不同数值，在技术分析中，n日WMA的最近期一个数值乘以n、次近的乘以n-1，如此类推，一直到0：

由于与的分子相差，假设为总和M：

总和M+1 总和M

分子M+1 分子M 总和M

留意分母为三角形数，方程式为

下图显示出加权是随日子远离而递减，直至递减至零（N=15）。

3) EMA

指数移动平均（英语：exponential moving average，EMA或EXMA）是以指数式递减加权的移动平均。各数值的加权影响力随时间而指数式递减，越近期的数据加权影响力越重，但较旧的数据也给予一定的加权值。下图是一例子（N=15）：

加权的程度以常数α决定，α数值介乎0至1。α也可用天数N来代表：，所以，N=19天，代表α=0.1。

设时间t的实际数值为Yt，而时间t的EMA则为St；时间t-1的EMA则为St-1，计算时间t≥2是方程式为：

设今日（t1）价格为p，则今日（t1）EMA的方程式为：

将分拆开来如下：

理论上这是一个无穷级数，但由于1-α少于1，各项的数值会越来越细，可以被忽略。分母方面，若有足够多项，则其数值趋向1/α。即，

假设k项及以后的项被忽略，即，重写后可得，相当于。所以，若要包含99.9%的加权，解方程即可得出k。由于当N不断增加，将趋向，简化后k大约等于。