平方剩余(二次剩余)

平方剩余：
设p是奇素数(即大于2的素数)，如果二次同余式    有解，则a称为模p的平方剩余，否则a称为模p的平方非剩余(二次非剩余)(之所以规定p是大于2的素数，是因为p = 2时解上面的二次同余式非常容易。
求出p = 5，7时的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 5时，因为

p = 7时，因为

所以1，4是模5的平方剩余，而2，3是模5的平方非剩余
而且对于平方剩余还存在多解x.(对于为什么取p的完全剩余系中数的x^2,因为p的完全剩余系中就包括了模p的所有可能结果)

模p的简化剩余系中，平方剩余的个数：
设p是奇素数．在模p的简化剩余系中，有 个平方剩余，  个平方非剩余．
证明: 取模p的最小绝对简化剩余系

则模p的全部平方剩余为

因为
于是模p的全部平方剩余为

现在证明这个  平方剩余两两不同，用反证法．
假设
就有
因为p是素数，在时，或者都是不成立的。
 所以所以在模p的简化剩余系中，有个平方剩余，同时有 个平方非剩余．

求模p的平方剩余时，就可以只计算下列数了：

就可以求出来全部的平方剩余解。

求出p = 11，时的平方剩余和平方非剩余．
解　p = 11时：

则全部的解就是1,3,4,5,9

判定一个数a是模p的平方剩余解的充要条件,(p是奇素数)（欧拉判别法)
       
a是模p平方非剩余充要条件
      


勒让德符号：
设p是奇素数，a是整数．勒让德（Legendre）符号定义如下：
    
集合里面的数值代表1：a是模p的平方剩余，-1：a是模p的平方非剩余，0：a可以被p整除
勒让德符号的性质：
a. 即：对于任何素数p，1肯定是p的平方剩余，当p是奇素数(除2外)的时候 -1 也是模p的平方剩余
b. 由  
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d.
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资料：https://wenku.baidu.com/view/d7a28a53b0717fd5370cdc4a.html