汉诺塔问题（Hanoi问题）的递归算法与非递归算法详解

递归算法分析如下， 设A上有n个盘子。 如果n=1，则将圆盘从A直接移动到C。 如果n=2，则： （1）将A上的n-1（等于1）个圆盘移到B上； （2）再将A上的一个圆盘移到C上； （3）最后将B上的n-1（等于1）个圆盘移到C上。 如果n=3，则： A）将A上的n-1（等于2，令其为n`）个圆盘移到B（借助于C），步骤如下： （1）将A上的n`-1（等于1）个圆盘移到C上。 （2）将A上的一个圆盘移到B。 （3）将C上的n`-1（等于1）个圆盘移到B。 B）将A上的一个圆盘移到C。 C）将B上的n-1（等于2，令其为n`）个圆盘移到C（借助A），步骤如下： （1）将B上的n`-1（等于1）个圆盘移到A。 （2）将B上的一个盘子移到C。 （3）将A上的n`-1（等于1）个圆盘移到C。到此，完成了三个圆盘的移动过程。 从上面分析可以看出，当n大于等于2时， 移动的过程可分解为三个步骤： 第一步 把A上的n-1个圆盘移到B上； 第二步 把A上的一个圆盘移到C上； 第三步 把B上的n-1个圆盘移到C上； 其中第一步和第三步是类同的。 当n=3时，第一步和第三步又分解为类同的三步，即把n`-1个圆盘从一个针移到另一个针上，这里的n`=n-1。 Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作 一个函数在运行期调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系统先完成3件事： ①将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用函数保存。 ②为被调用函数的局部变量分配存储区； ③将控制转移到被调用函数的入口。 从被调用函数返回调用函数前，系统也应完成3件事： ①保存被调用函数的结果； ②释放被调用函数的数据区； ③依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。 当有多个函数构成嵌套调用时，按照“后调用先返回”的原则（LIFO），上述函数之间的信息传递和控制转移必须通过“栈”来实现，即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个栈中，每当调用一个函数时，就为其在栈顶分配一个存储区，每当从一个函数退出时，就释放其存储区，因此当前运行函数的数据区必在栈顶。堆栈特点：LIFO，除非转移或中断，堆栈内容的存或取表现出线性表列的性质。正是如此，程序不要求跟踪当前进入堆栈的真实单元，而只要用一个具有自动递增或自动递减功能的堆栈计数器，便可正确指出最后一次信息在堆栈中存放的地址。 一个递归函数的运行过程类型于多个函数的嵌套调用，只是调用函数和被调用函数是同一个函数。因此，和每次调用相关的一个重要的概念是递归函数运行的“层次”。假设调用该递归函数的主函数为第0层，则从主函数调用递归函数为进入第1层；从第i层递归调用本函数为进入下一层，即i＋1层。反之，退出第i层递归应返回至上一层，即i－1层。为了保证递归函数正确执行，系统需设立一个“递归工作栈”，作为整个递归函数运行期间使用的数据存储区。每一层递归所需信息构成一个“工作记录”，其中包括所有实参、所有局部变量以及上一层的返回地址。每进入一层递归，就产生一个新的工作记录压入栈顶。每退出一层递归，就从栈顶弹出一个工作记录，则当前执行层的工作记录必是递归工作栈栈顶的工作记录，称这个记录为“活动记录”，并称指示活动记录的栈顶指针为“当前环境指针”。 递归源码如下： #include /*主程序*/ int hanoi(int,char,char,char); int  main() { char a='A',b='B',c='C'; int dishes; while(1) { printf("输入盘子个数：  "); scanf("%d",&dishes); hanoi(dishes,a,b,c); } return 0; } int hanoi(int dishs,char ap,char bp,char cp) { if  ( dishs == 1 ) printf("盘子从%c 移动到 %c /n",ap,cp); else { hanoi(dishs - 1,ap,cp,bp ); printf("盘子从%c 移动到 %c/n",ap,cp); hanoi(dishs - 1,bp,ap,cp); } return 0; } 非递归算法概述 /*《数学营养菜》（谈祥柏 著）提供的一种方法，编了一个程序来实现。 */ /* 算法介绍： 首先容易证明，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2^n - 1。 一位美国学者发现一种出人意料的方法，只要轮流进行两步操作就可以了。 首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上。 根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C； 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。 （1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B； 若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。 （2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。 即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘 这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。 （3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。 */ #include <iostream> using namespace std; const int MAX = 64; //圆盘的个数最多为64 struct st{ //用来表示每根柱子的信息 int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况 int top; //栈顶，用来最上面的圆盘 char name; //柱子的名字，可以是A，B，C中的一个 int Top()//取栈顶元素 { return s[top]; } int Pop()//出栈 { return s[top--]; } void Push(int x)//入栈 { s[++top] = x; } } ; long Pow(int x, int y); //计算x^y void Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值 void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数 int main(void) { int n; cin >> n; //输入圆盘的个数 st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储 Creat(ta, n); //给结构数组设置初值 long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1 Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数 system("pause"); return 0; } void Creat(st ta[], int n) { ta[0].name = 'A'; ta[0].top = n-1; for (int i=0; i<n; i++) //把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上 ta[0].s[i] = n - i; ta[1].top = ta[2].top = 0;//柱子B，C上开始没有没有圆盘 for (int i=0; i<n; i++) ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0; if (n%2 == 0) //若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C { ta[1].name = 'B'; ta[2].name = 'C'; } else //若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B { ta[1].name = 'C'; ta[2].name = 'B'; } } long Pow(int x, int y) { long sum = 1; for (int i=0; i<y; i++) sum *= x; return sum; } void Hannuota(st ta[], long max) { int k = 0; //累计移动的次数 int i = 0; int ch; while (k < max) { //按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子 ch = ta[i%3].Pop(); ta[(i+1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl; i++; //把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上 if (k < max) { //把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都为空时，移动较小的圆盘 if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 || ta[(i-1)%3].Top() > 0 && ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top()) { ch = ta[(i-1)%3].Pop(); ta[(i+1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i-1)%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl; } else { ch = ta[(i+1)%3].Pop(); ta[(i-1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i+1)%3].name << " to " << ta[(i-1)%3].name << endl; } } } }