LeetCode 回溯问题专题及总结

代码

回溯问题专题及总结，以八皇后和走迷宫这两个经典的回溯问题开始。其余题目只有 LeetCode medium 难度，包含了当前的所有 Medium & Backtracking 问题，使用 python3 的 jupyter notebook 编写，详细代码请看 my github

总结

回溯问题模板：

1. 定义一个全局变量，用以添加回溯过程中找到的一组解

2. 定义回溯函数：

   2.1 回溯函数参数：
   * 局部变量 path 存储找到的一组解, 这个参数一般是必须的
   * 记录当前位置的变量：如 start、x 、y 等，视具体问题而定

   2.2 回溯函数结束条件: 回溯本质是递归，递归就要有结束条件，不然出不去；结束条件一般比较好想，通常是边界条件，比如数组为空、当前位置到最后一个位置、或者当前 path 中的元素个数满足条件了等。

   2.3 如何表示回溯：不能改变局部变量 path 的值才能实现回溯:
   * path.append(X); back(path); path.pop() ， 对于 back 函数是沿着一条路深入，所以要加上当前点，path.pop()是恢复原来路径，去找同一层的下一个点
   * 直接 back(path + [X])，在 path 后加上当前的点，没有修改 path，和上面其实是一样的

   2.4 满足某种条件进行剪枝：通常当前位置往下一步走可能有多个选择，但是有些选择点是明显不满足条件的，没必要进行尝试，通过合理的条件判断跳过这些点，可以极大的缩短查找空间，减小时间复杂度，这一步做的好在数据量大的时候就能 AC 了或者 beats 更多人，不过这个条件要自己去摸索了。

python 模板：

final_result = []
def back(path, start):
    if 结束条件:
        final_result.append(path)
        return
    for 候选点集合:
        if valid(候选点):
            back(path + [候选点], 新位置) 
back(path=[], start=0)
print(final_result)

回溯问题类型整体可以分为三类：

1. 找所有层上的子集：例如 Subsets I 和 Subsets II，特点是每个子集的长度不一样。这中问题没有显式的结束条件，因为每一层上的子集都是合理的，
   所以要在回溯函数开头就加上当前解:

def back(path, start):
    final_result.append(path)
    for 候选点集合:
        if valid(候选点):
            back(path + [候选点], 新位置)

2. 找所有到最后一层的解：例如全排列问题、八皇后问题，特点是每个解的长度是一样的，每次递归沿一条路走到最后，到叶子节点的整个路径是要找的一组解，
   这时候就需要有显式的结束条件：通常是到达边界处作为结束条件 然后 return

def back(path, start):
    if 结束条件:
        final_ryesult.append(path)
        return
    for 候选点集合:
        if valid(候选点):
            back(path + [候选点], 新位置) 

3. 找到满足某些条件的总个数，如 357. Count Numbers with Unique Digits, 526. Beautiful Arrangement等，虽说也可以用上述框架，使用全局变量 final_result 存储每个局部解，然后返回 len(final_result) 就是全部解的个数，但是这样会浪费存储空间，因为并不要求返回全部解。我们可以
   在递归的时候直接返回个数。这时候结束条件就不是一个光杆司令 return 了，需要返回一个数，如 return 1 之类。

   刚说到 for 中的每个候选点是处在同一层的，而回溯的递归是沿着其中一个候选点深入下去，返回这一个分支的解的个数，那么横向这一层下所有解的个数就是各个候选点的回溯结果相加，总结如下：

def back(start):
    if 结束条件:
        return 1 # 举例，实际问题中未必是 1
    total = 0
    for 候选点集合:
        if valid(候选点):
            total += back(新位置) # back 就是一个分支递归下去返回的结果，如果递归不好理解，可以想象成这就是一个普通函数
    return total # 最后返回当前这一层的所有解

具象-抽象

有时候一时转不过弯或者不知道什么时候 return，不知道 valid 条件怎么写，这时候就找几个具体例子，比如从第一个位置开始，按照题意是什么情况，从第二个位置开始是什么情况，找几个具体的例子，观察一下规律，抽象出几个变量不知不觉中就可以套入到这个模板中了。

往往 for 这一层循环的是所有的候选点，它们是处在同一层的，for 中的一个满足条件的点再到 back 函数中，这是一条路继续往下走，其实就是 DFS，见下图示，刚开始节点是空，然后红色框代表每一层的候选点也就是 for 的部分，绿色框代表每个路径深入下去直到叶子节点，叶子节点就是 return 结束条件。建议刚开始拿到题目时候，按照下面这个图列举几个例子，就很容易找到其中的规律了。