BP神经网络Python实现

BP神经网络相关概念

• 什么是神经网络？
  神经网络是由很多神经元组成的，用个比较粗浅的解释，可能不太全面科学，但对初学者很容易理解：
  
  1. 我们把输入数据，输进去神经网络
  2. 这些数据的每一个都会被乘个数，即权值w，然后这些东东与阀值b相加后求和得到u
  3. 上面只是线性变化，为了达到能处理非线性的目的，u做了个变换，变换的规则和传输函数有关
     可能还有人问，那么那个阀值是什么呢？简单理解就是让这些数据做了个平移，这就是神经元工作的过程。处理后的结果又作为输入，可输给别的神经元，很多这样的神经元，就组成了网络。
• BP网络的特点
  
  1. 网络实质上实现了一个从输入到输出的映射功能，而数学理论已证明它具有实现任何复杂非线性映射的功能。这使得它特别适合于求解内部机制复杂的问题。我们无需建立模型，或了解其内部过程，只需输入，获得输出。只要BPNN结构优秀，一般20个输入函数以下的问题都能在50000次的学习以内收敛到最低误差附近。而且理论上，一个三层的神经网络，能够以任意精度逼近给定的函数，这是非常诱人的期望；
  2. 网络能通过学习带正确答案的实例集自动提取“合理的”求解规则，即具有自学习能力；
  3. 网络具有一定的推广、概括能力。
• BP主要应用
  回归预测（可以进行拟合，数据处理分析，事物预测，控制等）、 分类识别（进行类型划分，模式识别等）。但无论那种网络，什么方法，解决问题的精确度都无法打到100%的，但并不影响其使用，因为现实中很多复杂的问题，精确的解释是毫无意义的，有意义的解析必定会损失精度。
• BP算法的学习速度很慢，其原因主要有：
  
  1. 由于BP算法本质上为梯度下降法，而它所要优化的目标函数又非常复杂，因此，必然会出现“锯齿形现象”，这使得BP算法低效；
  2. 存在麻痹现象，由于优化的目标函数很复杂，它必然会在神经元输出接近0或1的情况下，出现一些平坦区，在这些区域内，权值误差改变很小，使训练过程几乎停顿；
  3. 为了使网络执行BP算法，不能用传统的一维搜索法求每次迭代的步长，而必须把步长的更新规则预先赋予网络，这种方法将引起算法低效。
• 网络训练失败的可能性较大，其原因有：
  
  1. 从数学角度看，BP算法为一种局部搜索的优化方法，但它要解决的问题为求解复杂非线性函数的全局极值，因此，算法很有可能陷入局部极值，使训练失败；
  2. 网络的逼近、推广能力同学习样本的典型性密切相关，而从问题中选取典型样本实例组成训练集是一个很困难的问题。
• 网络结构的选择：
  尚无一种统一而完整的理论指导，一般只能由经验选定。为此，有人称神经网络的结构选择为一种艺术。而网络的结构直接影响网络的逼近能力及推广性质。因此，应用中如何选择合适的网络结构是一个重要的问题。
• 新加入的样本要影响已学习成功的网络，而且刻画每个输入样本的特征的数目也必须相同。

• 采用s型激活函数，由于输出层各神经元的理想输出值只能接近于1或0，而不能打到1或0，因此设置各训练样本的期望输出分量Tkp时，不能设置为1或0，设置0.9或0.1较为适宜。

• 什么是网络的泛化能力？
  一个神经网路是否优良，与传统最小二乘之类的拟合评价不同（主要依据残差，拟合优度等），不是体现在其对已有的数据拟合能力上，而是对后来的预测能力，既泛化能力。

  网络的预测能力（也称泛化能力、推广能力）与训练能力（也称逼近能力、学习能力）的矛盾。一般情况下，训练能力差时，预测能力也差，并且一定程度上，随训练能力地提高，预测能力也提高。但这种趋势有一个极限，当达到此极限时，随训练能力的提高，预测能力反而下降，即出现所谓“过拟合”现象。此时，网络学习了过多的样本细节，而不能反映样本内含的规律。

• 过拟合是什么，怎么处理？
  神经网络计算不能一味地追求训练误差最小，这样很容易出现“过拟合”现象，只要能够实时检测误差率的变化就可以确定最佳的训练次数，比如15000次左右的学习次数，如果你不观察，设成500000次学习，不仅需要很长时间来跑，而且最后结果肯定令人大失所望。

  避免过拟合的一种方法是：在数据输入中，给训练的数据分类，分为正常训练用、变量数据、测试数据，在后面节将讲到如何进行这种分类。
  其中变量数据，在网络训练中，起到的作用就是防止过拟合状态。

• 学习速率有什么作用？
  学习速率这个参数可以控制能量函数的步幅，并且如果设为自动调整的话，可以在误差率经过快速下降后，将学习速率变慢，从而增加BPNN的稳定性。

训练数据

下面列表中的数据是某地区20年公路运量数据，在作为下一节的神经网络程序的输入。其中属性“人口数量”、“机动车数量”和“公路面积”作为神经网络的三个输入，属性“公路客运量”和“公路货运量”作为神经网络的两个输出。

某地区20年公路运量数据

年份	人口数量/万人	机动车数量/万辆	公路面积/万平方千米	公路客运量/万人	公路货运量/万吨
1990	20.55	0.6	0.09	5126	1237
1991	22.44	0.75	0.11	6217	1379
1992	25.37	0.85	0.11	7730	1385
1993	27.13	0.90	0.14	9145	1399
1994	29.45	1.05	0.20	10460	1663
1995	30.1	1.35	0.23	11387	1714
1996	30.96	1.45	0.23	12353	1834
1997	34.06	1.60	0.32	15750	4322
1998	36.42	1.70	0.32	18304	8132
1999	38.09	1.85	0.34	19836	8936
2000	39.13	2.15	0.36	21024	11099
2001	39.99	2.20	0.36	19490	11203
2002	41.93	2.25	0.38	20433	10524
2003	44.59	2.35	0.49	22598	11115
2004	47.30	2.50	0.56	25107	13320
2005	52.89	2.60	0.59	33442	16762
2006	55.73	2.70	0.59	36836	18673
2007	56.76	2.85	0.67	40548	20724
2008	59.17	2.95	0.69	42927	20803
2009	60.63	3.10	0.79	43462	21804

人工神经网络源码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def logsig(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

#人数(单位：万人)
population=[20.55,22.44,25.37,27.13,29.45,30.10,30.96,34.06,36.42,38.09,39.13,39.99,41.93,44.59,47.30,52.89,55.73,56.76,59.17,60.63]
#机动车数(单位：万辆)
vehicle=[0.6,0.75,0.85,0.9,1.05,1.35,1.45,1.6,1.7,1.85,2.15,2.2,2.25,2.35,2.5,2.6,2.7,2.85,2.95,3.1]
#公路面积(单位：万平方公里)
roadarea=[0.09,0.11,0.11,0.14,0.20,0.23,0.23,0.32,0.32,0.34,0.36,0.36,0.38,0.49,0.56,0.59,0.59,0.67,0.69,0.79]
#公路客运量(单位：万人)
passengertraffic=[5126,6217,7730,9145,10460,11387,12353,15750,18304,19836,21024,19490,20433,22598,25107,33442,36836,40548,42927,43462]
#公路货运量(单位：万吨)
freighttraffic=[1237,1379,1385,1399,1663,1714,1834,4322,8132,8936,11099,11203,10524,11115,13320,16762,18673,20724,20803,21804]

samplein = np.mat([population,vehicle,roadarea]) #3*20
sampleinminmax = np.array([samplein.min(axis=1).T.tolist()[0],samplein.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()#3*2，对应最大值最小值
sampleout = np.mat([passengertraffic,freighttraffic])#2*20
sampleoutminmax = np.array([sampleout.min(axis=1).T.tolist()[0],sampleout.max(axis=1).T.tolist()[0]]).transpose()#2*2，对应最大值最小值

#3*20
sampleinnorm = (2*(np.array(samplein.T)-sampleinminmax.transpose()[0])/(sampleinminmax.transpose()[1]-sampleinminmax.transpose()[0])-1).transpose()
#2*20
sampleoutnorm = (2*(np.array(sampleout.T).astype(float)-sampleoutminmax.transpose()[0])/(sampleoutminmax.transpose()[1]-sampleoutminmax.transpose()[0])-1).transpose()

#给输出样本添加噪音
noise = 0.03*np.random.rand(sampleoutnorm.shape[0],sampleoutnorm.shape[1])
sampleoutnorm += noise




maxepochs = 60000
learnrate = 0.035
errorfinal = 0.65*10**(-3)
samnum = 20
indim = 3
outdim = 2
hiddenunitnum = 8

w1 = 0.5*np.random.rand(hiddenunitnum,indim)-0.1
b1 = 0.5*np.random.rand(hiddenunitnum,1)-0.1
w2 = 0.5*np.random.rand(outdim,hiddenunitnum)-0.1
b2 = 0.5*np.random.rand(outdim,1)-0.1

errhistory = []

for i in range(maxepochs):
    hiddenout = logsig((np.dot(w1,sampleinnorm).transpose()+b1.transpose())).transpose()
    networkout = (np.dot(w2,hiddenout).transpose()+b2.transpose()).transpose()
    err = sampleoutnorm - networkout
    sse = sum(sum(err**2))

    errhistory.append(sse)
    if sse < errorfinal:
        break

    delta2 = err

    delta1 = np.dot(w2.transpose(),delta2)*hiddenout*(1-hiddenout)

    dw2 = np.dot(delta2,hiddenout.transpose())
    db2 = np.dot(delta2,np.ones((samnum,1)))

    dw1 = np.dot(delta1,sampleinnorm.transpose())
    db1 = np.dot(delta1,np.ones((samnum,1)))

    w2 += learnrate*dw2
    b2 += learnrate*db2

    w1 += learnrate*dw1
    b1 += learnrate*db1




# 误差曲线图
errhistory10 = np.log10(errhistory)
minerr = min(errhistory10)
plt.plot(errhistory10)
plt.plot(range(0,i+1000,1000),[minerr]*len(range(0,i+1000,1000)))

ax=plt.gca()
ax.set_yticks([-2,-1,0,1,2,minerr])
ax.set_yticklabels([u'$10^{-2}$',u'$10^{-1}$',u'$1$',u'$10^{1}$',u'$10^{2}$',str(('%.4f'%np.power(10,minerr)))])
ax.set_xlabel('iteration')
ax.set_ylabel('error')
ax.set_title('Error History')
plt.savefig('errorhistory.png',dpi=700)
plt.close()


# 仿真输出和实际输出对比图
hiddenout = logsig((np.dot(w1,sampleinnorm).transpose()+b1.transpose())).transpose()
networkout = (np.dot(w2,hiddenout).transpose()+b2.transpose()).transpose()
diff = sampleoutminmax[:,1]-sampleoutminmax[:,0]
networkout2 = (networkout+1)/2
networkout2[0] = networkout2[0]*diff[0]+sampleoutminmax[0][0]
networkout2[1] = networkout2[1]*diff[1]+sampleoutminmax[1][0]

sampleout = np.array(sampleout)

fig,axes = plt.subplots(nrows=2,ncols=1,figsize=(12,10))
line1, =axes[0].plot(networkout2[0],'k',marker = u'$\circ$')
line2, = axes[0].plot(sampleout[0],'r',markeredgecolor='b',marker = u'$\star$',markersize=9)

axes[0].legend((line1,line2),('simulation output','real output'),loc = 'upper left')

yticks = [0,20000,40000,60000]
ytickslabel = [u'$0$',u'$2$',u'$4$',u'$6$']
axes[0].set_yticks(yticks)
axes[0].set_yticklabels(ytickslabel)
axes[0].set_ylabel(u'passenger traffic$(10^4)$')

xticks = range(0,20,2)
xtickslabel = range(1990,2010,2)
axes[0].set_xticks(xticks)
axes[0].set_xticklabels(xtickslabel)
axes[0].set_xlabel(u'year')
axes[0].set_title('Passenger Traffic Simulation')

line3, = axes[1].plot(networkout2[1],'k',marker = u'$\circ$')
line4, = axes[1].plot(sampleout[1],'r',markeredgecolor='b',marker = u'$\star$',markersize=9)
axes[1].legend((line3,line4),('simulation output','real output'),loc = 'upper left')
yticks = [0,10000,20000,30000]
ytickslabel = [u'$0$',u'$1$',u'$2$',u'$3$']
axes[1].set_yticks(yticks)
axes[1].set_yticklabels(ytickslabel)
axes[1].set_ylabel(u'freight traffic$(10^4)$')

xticks = range(0,20,2)
xtickslabel = range(1990,2010,2)
axes[1].set_xticks(xticks)
axes[1].set_xticklabels(xtickslabel)
axes[1].set_xlabel(u'year')
axes[1].set_title('Freight Traffic Simulation')

fig.savefig('simulation.png',dpi=500,bbox_inches='tight')
plt.close()

训练效果图