算法问题分类---Top-K问题与多路归并排序

Pro1:寻找前K大数

方法1:K小根堆  后面的值若大于当前根,则替换之,并调整堆

大部分人都推荐的做法是用堆,小根堆。下面具体解释下:

如果K = 1,那么什么都不需要做,直接遍历一遍,时间复杂度O(N)。

下面讨论K 比较大的情况,比如1万。

建立一个小根堆,则根是当前最小的第K个数。然后读入N-K个数,每次读入一个数就与当前的根进行比较,如果大于当前根,则替换之,并调整堆。如果小,则读入下一个。

时间复杂度ON*logK)。

 

方法2:利用快排分区思想:

本题还有一个时间复杂度比较好的做法。在编程之美上提到过该算法。

首先找到最大的第K个数。这个时间复杂度可以做到ON,具体做法如下(利用快排分区思想):

从N个数中随机选择一个数,扫描一遍,n大的放在右边,r个元素,比n小的放左边,l个元素

如果:  a:l = K-1   返回n

           b:l > K-1 在l个元素中继续执行前面的操作。

           c:l < K-1  在r个元素中继续执行前面的操作。

b,c每次只需执行一项,因此平均复杂度大概为O(n+n/2+n/4...)=O(2n)=O(n)

 

Pro2: K路合并求Top-K

20路已经有序,20路合并  求Top500

有 20 个数组,每个数组有 500 个元素,并且是有序排列好的,现在在这 20*500个数中找出排名前 500 的数。

答:

20个数组中各取一个数,并记录每个数的来源数组,建立一个含20个元素的大根堆。此时堆顶就是最大的数,取出堆顶元素,并从堆顶元素的来源数组中取下一个数加入堆,再取最大值,一直这样进行500次即可

 

Pro3: K路合并排序

请给出一个时间为O(nlgk)、用来k个已排序链表合并为一个排序链表的算法,此处n为所有输入链表中元素的总数。

算法思想:

1. 从k个链表中取出每个链表的第一个元素,组成一个大小为k的数组arr,然后将数组arr转换为最小堆,那么arr[0]就为最小元素了;

2. 取出arr[0],将其放到新的链表中,然后将arr[0]元素在原链表中的下一个元素补到arr[0]处,即arr[0].next,如果 arr[0].next为空,即它所在的链表的元素已经取完了,那么将堆的最后一个元素补到arr[0]处,堆的大小自动减1循环即可。

http://www.programlife.net/stl-priority-queue.html

 

Pro4: 整体有序局部无序问题

一个有100亿个元素的整型数组,它的元素是有序的,现在把它分成若干段,每段不超过20个元素,每段的元素个数不等,现在在每段内将这些元素的顺序打乱,然后重新将这100亿个元素的数组排序,请问时间复杂度最小的算法是什么?并给出时间复杂度。

http://bbs.csdn.net/topics/390252481

http://blog.csdn.net/burningsheep/article/details/8104493

分析:

如果每段长度相等,则可以考虑采用上面的K路归并,但此处长度不相等,需另行考虑其它方法。

解:(直接插入排序)

假设第1到第5n个数已经有序为sort(5n),那么我们要将5n+1到5n+5这5个数据添加到已排序的数组中,只需要进行插入排序,将这5个数添加进即可。由于分段的长度不超过5,所以第5n+1个数在插入的时候,最多只需要搜索到第5n-4个数就可以了,比较个数不会超过5次。又因为5n+1到5n+5是已经排好序的,所以,后面的数比较次数也不会超过5次(最多比较到前一个插入的位置)。因此,每加入5个数到已排序数组中,时间复杂度是O5*5),

假设长度为N,每段长不超过K。则每段插入的时间复杂度即为OK*K)。

而对于以段为单位插入的操作,需要进行N/K次,所以,总的时间复杂度是O(K*K)*O(N/K)=O(NK)

 

Pro5:100亿个数,求最大的1万个数,并说出算法的时间复杂度

建一个堆,先把最开始的1万个数放进去。以后每进一个,都把最小的赶出来。


上述算法的可选实现工具:自己建立数组进行堆排序、使用优先队列priority_queue、使用集合set multiset
在最大堆中,根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值18,但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。
队列(queue)维护了一组对象,进入队列的对象被放置在尾部,下一个被取出的元素则取自队列的首部。priority_queue特别之处在于,允许用户为队列中存储的元素设置优先级。这种队列不是直接将新元素放置在队列尾部,而是放在比它优先级低的元素前面。优先队列有两种,一种是最大优先队列;一种是最小优先队列;每次取自队列的第一个元素分别是优先级最大和优先级最小的元素。
在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的,查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。





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