卓越设计的数据结构系列——布隆过滤器（Bloom Filter）
前言
今天，我们将开启一个全新的系列——卓越设计的数据结构。在这个系列中，我们将重点分享一些可以令人赞不绝口的数据结构，不同于我们大学时期所学习的《数据结构》课程，本系列所分析的数据结构，都是一些在学术界和工业界中研究所诞生的成果，其本身是对传统数据结构和经典算法的组合和演变，从而能够在一类问题中表现出卓越的性能。
常常说，计算机这门学科，汇集了世界最聪明的头脑，无论在计算机最早期的硬件设计，还是到后期软件的设计和算法的研究，无不让人对其中的智慧赞不绝口。
通过这一系列的学习和研究，我们在工作或学习中，可以直接使用这类新型数据结构，另一方面，可以锻炼我们的研究思维能力，能够对传统数据结构与经典算法进行融合，获得全新的问题解决方案。那么，让我们开始感受这些无与伦比的大脑中的智慧吧。
问题分析
我们常常会有这样的需求：在已有数据集中，检测某一元素的存在性。具体的场景包括：
- 云存储去重：服务器存储新文件前，检测是否已经存储了该文件
- web缓存问题：web服务器常常为了提高用户的交互体验，将常用数据进行缓存，伴随着数据的动态更新，缓存数据也需要进行动态更新，那么，何时需要存储新的数据，就需要对缓存数据存在性进行检测了
该类问题可以简单概括为：当前已维护了一个单一副本的数据集，当新元素加入时，需要在已有数据集中检测当前元素是否存在。
此类问题的传统求解方法一般是通过记录元素的摘要，构造成文件摘要表，当新元素加入时，只需在元素摘要表中进行比对，即可快速验证。而此类求解方法遇到的困境主要是，随着数据集的膨胀，元素摘要表也将线性增长，查询时间也会线性的增长。从而，带来较大的查询开销，而在元素摘要表上作索引等优化，也会带来额外的维护开销。
设计目标
因此，我们需要一个更优的数据组织形式和查询算法，解决上述提到的问题，同时我们的求解方案需要满足以下几个特征：
- 在不需要保存和暴露元素信息的情况下，实现元素存在性检测
- 检测算法的时间复杂度尽量控制在O(1) 范围内
- 尽量保证检测所需的存储和计算开销足够小
布隆过滤器
接下来，我们将隆重介绍本文的主角——布隆过滤器。首先，我们从最原始的布隆过滤方案谈起，此方案最早于1970年由Bloom在论文[1]中所提出。通过使用数组和一定数量的独立哈希函数构造整个方案，其基本模型包括三个阶段：模型初始化阶段、数据集登记阶段和布隆过滤阶段。
模型初始化造阶段
在此阶段，由用户定义所需数据集的大小m，以及能承受的假阳性(false false)概率f（后文将详细说明布隆过滤器的假阳性问题及解决方案）。
由概率计算公式1：n=ceil(m / (-k / log(1 - exp(log( p ) / k))))
获得初始化数组的大小n。
并根据概率计算公式2：k=round((m / n) * log(2))
获得独立哈希函数的个数k。
最后，初始化大小为n的数组，并将各位初始化为0，并准备k个独立的哈希函数进行后续初始化运算。
ps：还有一类需求，若同时配置好数据集大小m、假阳性概率f和独立哈希函数个数k，求解所需的初始化数组大小，可根据概率计算公式3:
lgp_k = Math.log(p) / k;
r = (-k) / Math.log(1 - Math.exp(lgp_k))
n = Math.ceil(m / r)
数据集登记阶段
此阶段，对已有数据集进行登记，分别对数据集中每一个数据文件进行k次哈希运算，获得一个大小为k的哈希集合Hk，然后对此集合进行遍历，将每一个集合元素在数组上进行映射（可简单作&运算），将每一个映射位设置为1。
布隆过滤阶段
此阶段，对新加入数据集的元素进行过滤检测。及重复数据集登记阶段的过程，将元素进行k次独立的哈希计算获得哈希集合Hk，然后对此集合进行遍历，将每一个集合元素在数组上进行映射，检测所有映射位是否位1，若其中有一个不为1，那么该元素不存在。
一个简单的例子
在不考虑假阳性发生概率的情况下，进行布隆过滤器的简单演示：
首先准备三份文件f1、f2和f3，其中f2为f1的副本，f3不同于f1、f2，假设数组大小为15，独立哈希函数个数为3个，采用下述的优化方案，采用HMAC函数与对应3个独立key代替3个独立哈希函数。
当上传文件f1时，进行哈希数组的初始化，算法如下：
key1:jfwe30fm3o9z4
key2:p0z9mc8d63n7
key3:0k386fh36xl138
HMAC(key1,f1) = 1024421 & 15 = 5
HMAC(key2,f1) = 9102814 & 15 = 14
HMAC(key3,f1) = 7819302 & 15 = 6
布隆数组arr 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
当上传文件f2时，进行去重检验，算法如下：
HMAC(key1,f2) = 1024421 & 15 = 5
HMAC(key2,f2) = 9102814 & 15 = 14
HMAC(key3,f2) = 7819302 & 15 = 6
判断：哈希数组arr[5] == arr[14] == arr[6] == 1?
结果：文件f2已经存在，不需要重复上传
当上传文件f3时，进行去重检验，算法如下：
HMAC(key1,f3) = 9810283 & 15 = 1
HMAC(key2,f3) = 3219203 & 15 = 3
HMAC(key3,f3) = 4864821 & 15 = 6
判断：哈希数组arr[5] == arr[14] == arr[6] == 1?
结果：文件f3不存在，需要进行上传，同时更新布隆数组
更新结果arr 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
假阳性（false positive）分析
对传统《数据结构》课程中的散列表有过研究的同学都应该知道，散列表通过空间换时间的思路，能够在查找性能上获得非常好的表现，具体可以达到O(1)的时间复杂度。但是，由于设计机制本身所使用的哈希函数的特性，不可避免的带来了哈希碰撞的问题，即原本考量不同文件能够合理均匀的映射到不同的数组位置上去，但是由于哈希函数运算的不可推测性，常常造成不同文件映射到相同的位置上，从而造成一定的问题。对于散列表，当出现哈希碰撞时，我们可以通过哈希再散列、线性探测等方法，有效解决哈希碰撞问题。
在布隆过滤器中，同时也存在此类问题，即文件原本不存在，但是由于其他文件的映射处理，造成了其所对应的各个位置都被置为了1，从而让用户相信该文件是存在的，而实际却不存在，即为假阳性。假阳性问题在布隆过滤器中，还没有实质性的解决方案，其产生的本质也是哈希函数特性所造成的，因此，解决方案只能围绕着降低假阳性发生概率上展开：
- 数组优化方案
通过将数组按独立哈希函数的个数进行切分，构成一个k维数组，各个独立哈希函数则可以在对应的一维数组上作映射，从而可以分割哈希映射空间，从而有效的降低碰撞发生的概率 - 哈希运算优化方案
哈希运算方面，可以存在两方面的优化思路：一方面，可以通过HMAC的哈希映射方案，随机生成k个密钥，然后根据k个密钥进行哈希运算，从而可以减少对独立哈希函数个数的要求。另一方面，可以采用长摘要的哈希函数，将生成的摘要平均分割为k份，再将其进行独立映射
参考文献
[1] B. Bloom. Space/Time Trade-offs in Hash Coding with Allowable Errors. Communications of the ACM, 13:422-426, 1970.
[2] Almeida P S, Baquero C, Preguiça N, et al. Scalable Bloom Filters[J]. Information Processing Letters, 2007, 101(6):255-261.
推荐代码（Python）
上述参考文献中[2]所实现的代码，由Python进行实现
https://github.com/jaybaird/python-bloomfilter
总结
至此，我们已经完成了本系列的第一篇：布隆过滤器的学习。相信，各位同学如果认真学习完上述内容，将同我一样发出赞叹，多么优雅和高效的一种数据结构啊。当然，任何完美的事物，都会存在一些小瑕疵，假阳性问题将伴随布隆过滤器一通存在，如何在其中，找到代价平衡，也是一种智慧和选择。希望大家能有所收获，任何问题可以留言。