作者：阮一丰
彩票怎么能得奖呢
理论上讲，这取决于运气。然而，如果规则设计得不好，就会钻空子。
2005年2月，美国的一张彩票出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现。在接下来的七年里，这个学生总共购买了300万美元。
这篇文章描述了他是如何做的以及涉及到的数学原理。我的素材主要来自斯坦福大学的数学教授Jordan Ellenberg（YouTube）的演讲。
1。期望值
彩票的最重要的数学概念叫做期望值，即在相同行为重复动作后可以获得的平均收入。
例如，每张抽奖2元，假设200张抽奖一次，奖金300元，你花了2000元，抽奖券1000张，奖金5元，奖金1500元。
这就是说，1000抽奖的总利润是1500元，平均回报是1.5元每一次。这是期望值，其计算公式如下。
期望值为1.5元，抽签成本为2元，净亏损为0.5元。
乍一看，我们知道这是不划算的。我们做的越多，它就越没有价值。如果你整天买彩票，你会损失很多钱（第一个案例是每200次100元）。
总之，期望是彩票收益的一个关键指标。
麻萨诸塞州彩票大奖二
马萨诸塞州有一个彩票品种叫做WrFael.它的规则非常简单：从1到48，你猜出了6个数字，并猜测有奖。
一期共售出930万张彩票，其中一等奖100万元，一等奖238件，11625件2件，19万8000件三件，四件136万8000件。
计算结果表明，这张彩票的预期价值为0.798元。
每张彩票的价格是2元，但平均收入只有0.798元，甚至还不到一半。这张彩票很不经济，所以没有吸引力，买彩票的人数正在减少。
国家政府担心，因为政府从彩票中抽奖20%元（0.4元），如果销售减少，政府的收入也会减少。因此，为了增加彩票的吸引力，政府决定修改彩票规则。
三。新规则
新的规则是，如果目前没有特别奖（没有人猜6个数字），那么奖金将被分配给一等奖，两个奖，三个奖获得者，和新的奖项在如下。
或者利用前面的获胜率来计算期望值。
每一张彩票的价格是2元，但期望值是5.53元。买这种彩票是非常划算的，如果你买了很多，你可以得到2.5倍的收入。预期值大于彩票的成本，因为奖金池也包括余下的。G奖金。
麻省理工学院的一个学生发现了这一点，他花了5000元买彩票，结果将近15000元。
四。如何选择号码
现在我们知道彩票的新规则是有利可图的，可以大量购买。然而，还有一个问题。我们应该如何选择数字来确保收入也就是说，在48个数字中你应该选择哪6个数字来最大化收入
毕竟，你买不到所有的彩票，因为彩票的收益不是彩票中奖的，你只能买彩票的一部分，并尽量让你购买的彩票获得最大的奖金。
为了简化我们的思维，让我们考虑一个简单的情况，从1到7猜三个数字，奖金如下。
你可以同时选择七个组合（也就是买七个张彩飘）。我如何选择号码
五、组合数公式
首先，让我们把这七个数字中的三个数字的总数从1到7。在数学中，它被称为组合数公式。
组合数公式是指从m个不同元素中提取的n（n小于m）元素的所有组合的数目，由符号C（m，n）表示。
其计算公式如下。
C（m，n）＝m！/N！*（M - N）！
在上面的公式中，感叹号表示阶乘，例如，4！等于4×3×2×1。
根据上述定义，七个数中的三个数的组合具有C（7, 3）。
C（7, 3）＝7！3！*（7—3）！= 35
也就是说，有35个组合的三个数字，我们可以列出它们。
一百二十三兆一千二百四十一亿二千五百一十二万六千一百二十七
一千三百四十一亿三千五百一十三万六千一百三十七
一亿四千五百一十四万六千一百四十七
十五万六千一百五十七
一百六十七
二千三百四十二亿三千五百二十三万六千二百三十七
二亿四千五百二十四万六千二百四十七
二十五万六千二百五十七
二百六十七
三亿四千五百三十四万六千三百四十七
三十五万六千三百五十七
三百六十七
四十五万六千四百五十七
四百六十七
五百六十七
以上都是35种可能的组合。你必须选择其中的7个，应该选择哪七个
六、最佳组合
答案是以下七个组合。
这七张彩票可以最大化你的利益，因为无论最终获胜的数字是多少，他们都能保证你总是得到6元奖金。如果中奖号码是123，那么你就获得了6元的头奖；如果中奖号码是367，那么每个三张票中的167, 346, 357张。猜两个数字，你有三个小奖励，奖金也是6元。
仔细观察七张彩票，你会发现它们是精心挑选的：每一个数字恰好是三次，这会使你获得一个奖项或三个小奖项。
七、几何选择方法
七张彩票是怎么选的
有一种几何方法可以很简单地做。七个数字是七个点，把它们连接成一条直线，每一条线只能有三个点，每个点出现在三条线上。当你画出上面的形状时，你得到了七条线（内圈也是一条线）。绳子每行的数量，并简单地选择七张票。
更严格的证明是：七个数字中有1到7个，有两个组合的两个数字（C（7, 2）），这意味着只要21个组合都被购买，三个小奖励就可以得到保证。因为三个获奖数字，有两个组合的三个数字。RS（例如，中奖号码是367，那么36, 37, 67可以是中小奖品）。另一方面，由于每个彩票包含三个数字，即三个两个数字的组合，至少只有7张彩票可以覆盖所有21个组合。
八。实践策略
回到前面的问题，彩票是如何在马萨诸塞州购买的
6个数字只要猜4个，就可以两个奖，只要组合所有四个数字购买，就可以保证15个两个奖项（6个数字15个四个数字组合在一起的C（6, 4））。
在48个数（C（48, 4））中有194580个四个数的组合。由于彩票包含15个组合，12972张票的最小购买就足够了（194580 / 15＝12972），所有四个数字都可以包括在内。如果你感兴趣的话，你可以写一个程序来计算包含这194580个组合的所有彩票。
购买12972张门票需要25944元（12972×2），根据此前的奖励，两个奖项是2385元，所以15个二等奖是35775元（2385×15），因此，25944元的投资可以获得没有风险的35775元。当然前提是没有人会在T中获得一等奖。他目前的时期，否则奖金将大大稀释。
（完成）
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