【图像重建指标 Metrics】均方误差RMSE及平均绝对误差MAE的定义和区别

在图像修复、图像提升和深度估计等任务中经常使用到一系列度量指标，除了常用的PSNR和SSIM外，RMSE和MAE能很好的反应图像的重建结果与真实结果间的差异。

1.均方误差RMSE

首先来看均方误差(root mean square error)的定义,假设图像大小是$m\ast n$，针对每个像素求出误差的平方和并求均值再开方:
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{m\ast n}\sum _i^{m\ast n}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}$$
它是精度的一个度量，可以用于比较不同模型在同一数据集上的预测表现；
它可以放大误差的的幅度（误差越大rmse越大）;
可以通过rmse计算出PSNR：
$$PSNR=20\ast {\log }_{10}\frac{max}{RMSE}$$

2.平均绝对误差MAE

MAE(mean absolute error)其定义为误差绝对值的平均值，公式如下：
$$MAE=\frac{1}{m\ast n}\sum _i^{m\ast n}|(y_i-{\hat{y}}_i)|$$
它可以表示预测值与真实值之间的平均距离；
它与数据的尺度相同；
它具有更好的解释性，便于理解；

tips，与AAD的区别

3.与L1和L2 loss的联系

L1是一阶的绝对误差，L2是平方误差，公式如下：
$$\begin{gathered} L_1=\sum _i^{m\ast n}|y_i-{\hat{y}}_i| \\ {L}_2=\sum _i^{m\ast n}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2 \end{gathered}$$

4.方差(variance ${\sigma }^2$)与标准差(std $\sigma$)

首先定义随机变量X，或者对于离散随机变量xi对应概率pi，其期望或者均值可以写为下面的样子：
$$\begin{gathered} \mu =E(X) \\ \mu =\sum _{i=1}^n(p_i{x}_i) \end{gathered}$$
而后可以定义方差是：随机变量与均值差 的平方的期望（平方的均值）:
$$\begin{gathered} Var(X)=E(X-E(X)) \\ Var(X)=\frac{1}{n}\sum _i^n(x_i-\mu {)}^2 \end{gathered}$$
标准差则可以直接从方差的平方根得到：
$$s=\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _i^n(x_i-\mu {)}^2}$$
有时也会写为：
$$s=\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _i^n(x_i-\mu {)}^2}$$

ref:
https://blog.csdn.net/capecape/article/details/78623897
latex choose：https://www.zhihu.com/question/21088362/answer/29312831
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https://afteracademy.com/blog/what-are-l1-and-l2-loss-functions
https://zhuanlan.zhihu.com/p/48426076