《高等数学》 总结 导数、微分、不定积分

必须掌握各个概念的定义。从定义中,深入的理解概念,以及发掘概念之间的相互联系。

导数&微分

微积分有两种定义:
1、古典微积分
这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量,那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数也就从中得到了定义:是两个微小变量的比值=dy/dx。所以导数也被称为微商。这是古典定义,可以看出是非常容易理解的。

2、基于极限的微积分。
古典微积分虽然直观但是不够严谨,因此全新的微积分定义被发明了,这就是基于极限的微积分。导数首先被严格的定义为了一种极限:
这里写图片描述
然后微分在导数的基础上得到了定义:(来源于维基)

《高等数学》 总结 导数、微分、不定积分_第1张图片
从定义可以看出,微分dy被定义为了一个函数,这个函数是y真实变化量 Δy 的一个线性近似。 Δy Δx 是非线性关系,但是dy和 Δx 是线性关系。那么在点x处,且 Δx 趋近于0时,线性关系中的A值就是函数在x处的导数。所以有:
这里写图片描述
可以看出这里dy也可以像古典微积分定义的微分那样被理解为一个微小变化量,只不过其中的含义更深刻了。

不定积分

不定积分的定义
首先明确一点,一定要区分不定积分和定积分。从概念上说,这是两个定义完全不同的东西。
不定积分是给定一个函数,求该函数的带有一个常数项的原函数的过程。所以不定积分的结果是一个函数。相比之下,定积分得到的结果是一个数值。

计算不定积分的方法:
1、基本积分表
2、不定积分满足加性、齐性。(线性映射的两个性质!)
3、第一换元法
《高等数学》 总结 导数、微分、不定积分_第2张图片
暂时把这个定积分看成不定积分。严格的讲,积分表达式中dx这个符号是整体的一部分,并不表示微分的概念。然而,如果把dx当做微分,根据微分的定义,进行第一换元法中的变化就是合情合理的了,因为这个过程其实是将一个微分替换为另一个微分。
4、第二换元法
第二换元法是第一换元法的相反过程。把dx分解,x可以看做是一个函数,然而x可以被变换为任何的函数,所以第二换元法更加灵活和困难。
5、分部积分法
这里写图片描述
这是由导数的乘法法则来的。

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