《大话数据结构》笔记:第六章

目录

    • 六、树
            • 6.1.1 度(Degree)
            • 6.2.2节点间关系
            • 6.2.3 其他概念
        • 6.3 具体操作
        • 6.4树的存储结构
            • 6.4.1父节点表示法
            • 6.4.2 子节点表示法
            • 6.4.2 兄弟节点表示法
        • 6.5二叉树(重点)
            • 6.5.1特点
            • 6.5.2 特殊二叉树
        • 6.6二叉树的特性
        • 6.7二叉树存储结构
            • 6.7.1顺序存储结构
            • 6.7.2二叉链表
        • 6.8遍历二叉树
            • 前序遍历
            • 中序
            • 后序
            • 层序
        • 6.9建立二叉树
        • 6.10线索二叉树
        • 6.11树,森林与二叉树的转换
            • 6.11.1树转二叉树
            • 6.11.2森林转二叉树
            • 6.11.3二叉树转树
            • 6.11.4二叉树转森林
            • 6.11.5 树与森林的遍历
        • 6.12赫夫曼树

六、树

有且仅有一个根节点(root),连接多个地址,每个地址都应一棵子树。子树相互独立,无交叉。

6.1.1 度(Degree)

结点拥有的子树数称为节点的度(Degree)。度为0的节点是叶节点(Leaf)或终端节点。反之称为非终端节点,或分支节点。除根节点,也称为内部节点。树的度是各节点的度的最大值。

6.2.2节点间关系

父(Parent),子(Child),兄弟(Sibling),祖先,子孙

6.2.3 其他概念

节点的层次(Level):根在第一层,子节点在第二层,依次往下。

树的深度(Depth)或高度:树中节点最大层次

有序树/无序树:树中节点各子树是否有顺序

森林(Forest):几颗互不相交的树。树的两颗子树可以称为森林。

线性结构和树结构:
《大话数据结构》笔记:第六章_第1张图片

6.3 具体操作

操作:构建树,销毁树。。
#这个还是根据python具体去了解,c语言的不通用

6.4树的存储结构

三种表示方法:双亲,孩子表示法,孩子兄弟表示法。
(翻译成双亲实在不好理解,应该是父节点表示法)

6.4.1父节点表示法

每个节点包括:数据域和指针域,指针指向父节点在数组中的下标。
《大话数据结构》笔记:第六章_第2张图片
容易找到父节点,O(1),找子节点,需要遍历整棵树。

改进:
两个指针,一个指向父节点,一个指向第一个子节点。
或者一个指向父节点,一个指向右兄弟节点,

针对不同需求,有各种各样的结构。

6.4.2 子节点表示法

多个指针,每个指针指向一个子节点。
#二叉树通常是子节点表示法。

方案一
每个节点都带n个指针,n是树的度,即所有节点中的最大分叉数。分叉不够的节点数,补足空指针。
缺点:
节点分叉差别很大时,浪费空间

方案二
每个节点先记录分叉数,或者叫度(degree),在带上degree个指针。
缺点:
各节点结构不同,需要更新分叉数,时间运算慢

方案三
各分叉之间用链表相连:
首先是data和firstchild指针,指针指向第一个子节点。然后各子节点之间用链表相连,child和 next。
《大话数据结构》笔记:第六章_第3张图片
缺点:
还是需要遍历这个结构才能得到父节点

方案四 :父子节点表示法
data + parent + firstchild,加上父节点的指针
《大话数据结构》笔记:第六章_第4张图片

6.4.2 兄弟节点表示法

data +两个指针,一个是第一个子节点,一个是它的右边节点
在这里插入图片描述

《大话数据结构》笔记:第六章_第5张图片
特点:方便找子节点,找父节点可以加parent指针。

重点是转为了二叉树。
《大话数据结构》笔记:第六章_第6张图片

#这个转换感觉很重要,直接将任意形式的多叉树转为了二叉树进行处理。

#但应该还需要记录原来的格式,这个应该不能恢复原多叉树的。因为有多种可能。比如一条单链,你不知道这原来就是单链,还是父节点和多个子节点。

6.5二叉树(重点)

二叉树(Binary Tree)是一个根节点,和两颗互不相交的左子树/右子树的二叉树组。(非空状态下)

6.5.1特点

1.最多两个子树,度最大为2,可以有一个子树或没有。
2.左右子树有顺序,不能颠倒。
3.一颗子树,也要分为左子树还是右子树。

二叉树的五种形态:
1.空树
2.只有根节点
3.只有左子树
4.只有右子树
5.左右子树都有

三个节点的树:有五种
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6.5.2 特殊二叉树

1.斜树:只有一个节点,分左斜/右斜。节点树等于树的深度,简单说就是链表。

2.满二叉树:
所有分支都存在左右子树,且叶子节点在同一层。

3.完全二叉树:
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完全二叉树的特点:
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#感觉深度最小的特性比较有用,即满排树。

6.6二叉树的特性

1.第n层最多2n-1个节点。

2.深度为k,最多2k-1个节点。

3.叶子节点个数是双分叉节点加1。
证明:
总节点数是n,叶子节点n0,单分叉节点(度)n1,双分叉节点n2。
n = n0+n1+n2

除了根节点,每个节点都对应一根连接线,所以线数是n-1。
而另一个角度看,双分叉两根线,单分叉一根线,
所以
n-1 = n1+2*n2
所以。n0 = n2+1。

4.n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1

5.n个节点的完全二叉树。第i个节点。
if i== 1:i是根节点。
else: 其父节点是i//2,i 整除2的结果。

如果 2i>n,i 节点是叶子节点,否则其左子节点是2i

如果2i+1 >n, i 节点无右孩子,否则,其右孩子是2i+1

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6.7二叉树存储结构

6.7.1顺序存储结构

完全二叉树适合顺序存储,其他类型会造成空间浪费。
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#其实这就是刷题时给的数组形式的二叉树,有空时补null。

6.7.2二叉链表

数据域加两个指针域

 class TreeNode:
     def __init__(self, x):
         self.val = x
         self.left = None
         self.right = None

6.8遍历二叉树

二叉树的遍历:从根节点出发,按照某种次序依次访问二叉树的所有节点,每个节点被访问一次并仅被访问一次。

前序遍历

根—左子树—右子树
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中序

左子树—根---右子树
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后序

左子树—右子树—根
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层序

每层结束后,访问下一层
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已知前序和中序,或者后序和中序是可以确定一棵二叉树。
但只有前序和后序,无法确定。

6.9建立二叉树

拓展二叉树:
二叉树的每个节点的空指针,引出一个虚节点。比如其值为“#”。
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#M,回头看一下python递归建树的代码

6.10线索二叉树

空指针数:n个节点的二叉树,一共2n个指针,n-1个分支线数,所有存在2n-(n-1)=n+1个空指针。所以会很浪费空间。

线索二叉树:指向前驱和后继的指针称为线索,加上线索的二叉链表称为线索链表,相应二叉树称为线索二叉树。

总结来说:所有节点的左指针,指向中序遍历上一个,右指针,指向中序遍历的下一个。形成一个中序遍历顺序的双向链表。
其实就是把中序遍历的list转为双向的链表。
#相比于中序遍历有什么优势,并未说明。
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同时为了分辨两个指针,用两个布尔值区分前驱和后继指针。
《大话数据结构》笔记:第六章_第18张图片
优势:如果所用二叉树,经常遍历或查找,需要前驱和后继,那么用线索二叉树的存储结构,能够节省空间和时间。

#相应代码python

6.11树,森林与二叉树的转换

6.11.1树转二叉树

1.加线:树的兄弟节点之间,加线。
2.去线:每个节点,只保留和第一个子节点的连线,去掉和其他子节点的连线。
3.层次调整:子节点是左子树,兄弟节点是右子树。
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6.11.2森林转二叉树

将所有树的根节点,视为兄弟节点。
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6.11.3二叉树转树

反过来,右子树都是兄弟节点,左子树,是子节点。

6.11.4二叉树转森林

根节点有右子树,即有兄弟节点,那就是森林。

6.11.5 树与森林的遍历

树的遍历:先根遍历/后根遍历

森林的遍历:前序遍历/后序遍历

#森林的后序是二叉树的中序,因为根节点是第一棵树的。

6.12赫夫曼树

压缩编码方法:赫夫曼编码

多次分数分类问题
路径长度:树中一个节点到另一个节点,的分叉线数。
数的路径长度:根节点到所有节点(不仅是叶子,所有节点)的路径长度之和。
其中左面树路径长度20,右面是16。
带权的节点:每个叶子节点路径长度与权的乘积之和。
《大话数据结构》笔记:第六章_第21张图片

其中带权路径长度WPL的最小二叉树称作赫夫曼树(最优二叉树)。
#感觉就是前n-1层满排的二叉树,因为最后一层不一定从最前面开始,不一定是完全二叉树,但是很接近。后面发现好像也不对,权重低的会尽量远离根节点。

构建赫夫曼树:
1.所有权值的子节点从小到大排序。
2.最小的两个做为左右节点,形成树。小的在左,根是两者之和。把两者之和的根节点,放进排序。
3.重复这一流程。

#与现实不同,未必是最优情况。

赫夫曼编码问题
实例:
《大话数据结构》笔记:第六章_第22张图片
解码:
前缀编码:任何一个字符的编码,都不是另一个字符编码的前缀,避免混淆。
赫夫曼编码本身就是前缀编码。

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