数据结构与算法系列------算法

    hello,everybody.今天我们来总结一下《大话数据结构》第二章----算法。那么首先,让我们一起回忆一下书籍目录关于第二章的内容吧。

算法

1.数据结构与算法的关系

2.两种算法的对比

3.算法的定义

4.算法的特性

5.算法设计的要求

6.算法效率的度量方法

7.函数的渐近增长

8.算法时间复杂度

9.常见的时间复杂度

10.最坏情况与平均情况

11.算法空间复杂度

以上就是算法的所涉及的十个概念,我们的总结也是按照以上是十个概念来进行的。那么我们one by one 来进行学习吧。

First,数据结构与算法的关系:

书中是用一个现实问题来解答二者之间的关系,假设你与你的girlfriend 一起去看爱情话剧《Romeo and Juliet(罗密欧与朱丽叶)。到了影院,发现海报上写的是《Romeo》,本以为是工作人员粗心大意写错了。后来才知道,原来美丽的Juliet不满自己报酬,所以就不愿意出席。没有Juliet,那么只能演Romeo的心理路程了。我是这么来理解算法与数据结构的关系的,好的算法是为了数据可以更高效的在计算机中存储。数据结构,算法可以单独拿出来讲,来学,来用。但是显然,意义不是很大。选择好的数据结构,来存储数据,选择好的算法来计算数据。目的都是为了让计算机可以高效运作。

Second,两种算法的比较:

高斯,是德国的著名数学家。说起来惭愧,关于等差数列,只知道有这么个东西,哇晓得它的历史。高斯上小学时,有一天班里同学不遵守纪律,惹得老师发怒。放学后,老师出了一道数学题,答出题目的同学才可以放学。题目是这样的:1+2+3+4+………100

同学们埋头在计算题目,不到一分钟,我们的天才数学家就把答案计算出来了,老师都感到不可思议(因为当时等差数列求和还没有诞生)。他的思路是这样的:

sum=1+2+3+4+………..+97+98+99+100

sum2=100+99+98+97+……+4+3+2+1

2*sum=sum+sum1(100个101)=10100

sum=sum+sum1/2=5050

等差数列求和的公式:(首项+末项)*项数/2

看一下,下面的两种算法。

int I;int sum=0;int n=100;

for(i=1;i<=n;i++)

{

      sum+=sum+I;

}

 

int i=1,;int sum=0;int n=100;

sum=(i+n)*n/2

 

大家体会到不同的算法的区别了么?所以,研究算法是很重要的。好算法浓缩都是智慧,都是知识。

Third,算法的定义:

何为算法?算法,解决问题,我们需要解决方案。具体的解决方案需要详细的步骤,方法。算法,就是这些步骤,方法的集合。对应到计算机中,就是一条条指令的集合。Note:一条指令可能包含多部操作。

Fourth,算法的特性:

算法具有她自己的一些特性,(1)有穷性:我们写出来的算法一定要保证是可以在一定时间内执行完的。(2)输出性:我们写出的算法一定要有输出,没有输出的话,那么这个算法也没有存在的意义。(3)输入性:大部分算法是需要输入参数的,个别的算法是不需要输入的,例外print:Hellow Word这句话。所以算法的输入可有可无。(4)可行性:写出的算法一定是要可以执行的。(5)确定性:写出的算法,一定能要明确的告诉计算机应该执行的操作。这就是算法的5个基本特性。

Fifth,算法设计的要求:

算法设计有几点要求:(1)正确性:我们设计出来的算法一定要是正确的。(2)可读性:我们设计出来的算法一定要让人可以看懂。(3)健壮性:我们设计出来的算法,生命力一定要旺盛,不能跑几个for循环就挂掉了。(4)时间效率高存储量低:时间效率,我们可以想想上面提到的两种算法比较。存储量,是指对计算机内存来讲的,要尽量少占用内存空间。

Sixth,算法效率的度量方法:

刚才我们谈到设计算法要求时,讲到了时间效率。算法效率,一般是指算法执行的时间。那么应该怎样去度量时间效率呢?书中讲了两种方法:1.事后统计法 2.事前分析估算法。关于事后统计法,是编写一个计时器,算法跑完,记录时间。算法的优劣,我们只能在算法跑完后才可以知道,显然这个方法是不科学。事前分析估算法,是常用的计算算法效率的方法。

拿我们刚才讲的两个算法为例:

数据结构与算法系列------算法_第1张图片 

从图中,我们可以看出这个算法一共执行了1+(n+1)+n+1次。

QQ Photo20140522163658

从图中,我们可以看出这个算法一共执行了1+1+1次。

因为这两个算法的不同之处仅仅在于循环体,与计算上。所以我们把相同部分去掉,再来看看执行次数。第一个我们称为A,A的执行次数为n次。第二个我们称为B,B的执行次数为1次。

其实A与B的差别在n次与1次。两种算法的优劣,可以很容易看出了吧?

我们再来个C算法:

数据结构与算法系列------算法_第2张图片

从图中,我们可以看出,这个算法需要执行n的n次方。

我们来一起来对别一下3个算法的优劣:

如果我们的输入规模是10,那么算法A:需要执行10次  算法B:1次  算法C:10*10 100次。

随着输入规模的增大,算法C所花费的时间会越来越多。

当我们在分析估算算法的优劣时,一定要把算法的执行时间与输入的规模大小联系在一起,请看下图:

数据结构与算法系列------算法_第3张图片

 

从图中,可以看出随着规模n的增加,对应的操作数量也会增加。这就好比,一个人的付出,是与得到成正比的。只要用心付出,踏踏实实的,就会得到别人得不到的东西。所以,平日的努力,一定要用心,不要做无用功。去努力,就要去用心。心不在焉,不如不干。

Seventh,函数的渐进增长

我们来判断一下两个算法,哪个优哪个劣。A算法,需要做2n+3次操作,B算法需要做3n+1次操作。单从字面上看不出优劣,我们可以进行一下分析:

数据结构与算法系列------算法_第4张图片

当n<3时,B算法要优于A算法,当n>3时,A算法优于B算法。像这样的,输入规模n没有限制,当n>N时,函数总是大于另一个函数。这个函数是渐进增长的。

数据结构与算法系列------算法_第5张图片

从图中我们可以看出,随着n的增大,表达式中的常数(+3、+1)影响很小,我们可以忽略。如上图的,A‘ B’。

我们在看一下算法C:

数据结构与算法系列------算法_第6张图片

从图中我们可以看出,随着n的增加,表达式的结果不受常数的影响。与最高项数相乘的常数并不重要。如图C‘D’

 

Eighth,算法时间复杂度

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我们用O()来表示算法的时间复杂度,也称大O记法。

如何来推导大O记法呢?

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常数阶:

我们来回顾一下上面提到过的例子,

QQ Photo20140523125643

这个算法的执行次数函数为f(n)=3,根据大O阶推导方法,我们来计算一下这个算法的时间复杂度

first:用常数1取代所有加法的常数,f(n)=1.

second:只保留最高阶项。没有最高阶项

third:如果最高阶项不是1,则去除与这个项相乘的常数。

最后得出f(n)=1.这个算法的时间复杂度为o(1).

如果我们把上面的算法改为这样:

数据结构与算法系列------算法_第10张图片

再来计算一下算法的时间复杂度,根据公式推导,我们发现,时间复杂度还是f(n  )=1.这种与问题大小无关(n的大小 ),执行时间恒定的算法,

我称之为具有O(1)的时间复杂度。或者称为常数阶。

 

线性阶:

QQ Photo20140523131037

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计算这个算法的时间复杂度,其实就是在计算循环体执行的次数。根据推导我们得出:时间复杂度为o( n ).

对数阶:

数据结构与算法系列------算法_第11张图片

分析这个算法,我们发现。当X个2相乘大于n时所执行的次数,就是时间复杂度。2^x=n x=log2n.时间复杂度为O(logn )

 

平方阶:

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看这个算法,最内层的执行次数函数为f(n )=n.外一次循环体只是执行n次内循环。所以这个算法的时间复杂度为o(n*n ).如果外层循环次数改为m,那么时间复杂度应为o(n*m )

Ninth,见的时间复杂度

数据结构与算法系列------算法_第13张图片

上图就是常见的时间复杂度,最后三个不常用。我们不讨论,根据执行时间由小到大的顺序依次为:

O(1 )

Tenth,最坏情况与平均情况

平均情况是我们最理想的情况,我们谈时间复杂度,一般都是以最坏情况为标准。

Eleventh,算法空间复杂度

数据结构与算法系列------算法_第14张图片

 

说实话,这章自己掌握的不好,好多都是摘录原文,没有经过自己的理解。不过,看懂一本书,最少也要看3遍。把这个留在第二遍,好了,这就是第二章的内容。来跟我一起学第三章吧!

转载于:https://www.cnblogs.com/VitoCorleone/p/3747522.html

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