数学基础-小波变换的原理及其应用

一、傅里叶变换的局限性

用傅里叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息，傅里叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）时间窗的宽度不好确定，窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。而且STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求，另外STFT做不到正交化。
具体参考 能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系

二、小波变换的原理

小波就是很小的波，小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了。
小波变换的公式如下

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
伸缩因子的作用不同的伸缩因子生成不同的频率成分，如下图所示。

平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，如下图所示。
多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。小波多分辨分析的原理图如下。

小波分解树如下图所示。高频分量称为细节分量，频率分量部分，称为近似分量

小波包分析可以看作是小波分解的一种推广方法，对多分辨分析没有细分的高频分量部分进行进一步的分解，小波包分解树如下图所示。

三、小波分析的应用

1、数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。
2、语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。
3、瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点。因此，小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。
4、神经网络与小波分析相结合，分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。

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