信号与系统笔记

信号与系统笔记

序列

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序列的表示5e 4

1. 图形:
   

2. 函数解析式:
   $$y[k]=f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+\cdots f_n[k]$$

3. 列表表示:
   $$y[n]=0,1,2,\bar{3},4,5,6,7,8,9$$
   其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)

序列的变换

1. 序列的平移
   

用表达式的写法就是:
$$y[n]=x[n-n_0]$$

2. 序列的反转
   

用表达式的写法就是:
$$y[n]=x[-n]$$

3. 序列的尺度变换
   

压缩时:
$$y[n]=x[2n]$$
展宽时:
$$y[n]=x[n/2]$$

实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.

序列运算

1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前

4. 相加和相乘
   $$y[k]=f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+\cdots f_n[k]$$
   $$y[k]=f_1[k]\cdot f_2[k]\cdot f_3[k]\cdots f_n[k]$$

5. 差分
   a.前向差分:
   $$△f[k]=f[k+1]-f[k]$$
   b.后向差分
   $$▽f[k]=f[k]-f[k-1]$$

6. 求和
   $$y[k]=\sum _{n=-\infty }^{k}f[n]$$
   举个比较重要的例子:
   $$u[k]=\sum _{n=-\infty }^k\delta [n]$$

7. 卷积和

连续上:
$$y(t)=f(t)\ast h(t)={\int }_{\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
离散上:
$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$$
计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加

8. 相关
   连续上:
   $${\varphi }_{xy}(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )y(\tau )d\tau$$
   离散上:
   $$r_{xy}[n]=\sum _{-\infty }^{\infty }x[n]y[n+m]$$
   举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
   $$r_x(m+N)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N}x(n)x(n-m-N)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N}x(n)x(n-m)=r_x(m)$$

几个较为重要的序列

单位脉冲序列

$$\delta [n]=\{\begin{array}{l}0,n̸=0\\ 1,n=0\end{array}$$

单位阶跃序列

$$u[n]=\{\begin{array}{l}0,n<0\\ 1,n\ge 0\end{array}$$

上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:
$$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$$

单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:
$$u[n]=\sum _{m=-\infty }^n\delta [m]$$

值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:
$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta [n-k]$$
当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成…

矩形序列

$$R_N[k]=u[k]-u[k-n_0]$$

DTFT(Discrete-time Fourier Transform)

定义

DTFT:
$$X(e^{j\Omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$$
iDTFT:
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\omega })e^{j\Omega }d\Omega$$

举个例子:考虑单边信号$x[n]=a^{n}u[n]$的DTFT:
$$X(e^{j\Omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{a}^{n}u[n]e^{-j\Omega n}=\sum _0^{+\infty }(a{e}^{-j\Omega }{)}^n=\frac{1}{1-a{e}^{-j\Omega }}$$

最后一步由底数小于1的等比数列求和得到

性质

较多,故不作证明

1. 周期性
   $$X(e^{j(\Omega +2\pi )})=X(e^{j\Omega })$$
2. 线性性质
   $$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}a{X}_1(e^{j\Omega })+b{X}_2(e^{j\Omega })$$
3. 时移与频移
   $$x[n-n_0]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{e}^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega })$$
   $$e^{-j{\Omega }_{0}n}x[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(e^{j(\Omega -{\Omega }_0})$$
4. 共轭与共轭对称性
   因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下

如果有
$$x[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(e^{j\Omega })$$
则序列的共轭有:
$$x^{\ast }[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}^{\ast }(e^{-j\Omega })$$
在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:
$$X(e^{j\Omega })=X^{\ast }(e^{-j\Omega })$$
所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数

5. 差分与累加
   $$x[n]-x[n-1]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}(1-e^{-j\Omega })X(e^{j\Omega })$$
   实际上,考虑信号:$y[n]={\sum }_{m=-\infty }^{n}x[m]$
   他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
   $$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}x[m]=\frac{1}{1-e^{-j\Omega }}X(e^{j\Omega })+\pi X(e^{j0})\sum _{-\infty }^{+\infty }\delta (\Omega -2\pi k)$$

6. 时间反转
   $$x[-n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(e^{-j\Omega })$$

7. 时域扩展
   $$x_{(k)}[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(e^{jk\Omega })$$

8. 频域微分
   $$nx[n]\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}j\frac{X(e^{j\Omega })}{d\Omega }$$

9. 帕斯瓦尔定理
   $$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }|X(e^{j\Omega }){|}^{2}d\Omega$$

10. 卷积性质相乘性质

对于$ y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k] $有:
$$Y(e^{j\Omega })=X(e^{j\Omega })H(e^{j\Omega })$$

当考虑$y[n]=x_1[n]x_2[n]$时,有:
$$Y(e^{j\Omega })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }{X}_1(e^{j\theta })X_2(e^{j(\Omega -\theta )})d\theta$$

11. 对偶性
    当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧

Z变换

定义

$$X(z)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$$
$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz$$

性质

1. 线性性质
   $$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}a{X}_1(z)+b{X}_2(z)$$

2. 时移性质
   $$x[n-n_0]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}{z}^{-n_0}X(z)$$

3. z域尺度变换
   $$z_0^{n}x[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(\frac{z}{z_0})$$

4. 时间反转
   $$x[-n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(\frac{1}{z})$$

5. 时域扩展
   $$x_{(k)}[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(z^k)$$

6. 共轭
   如果有
   $$x[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(z)$$
   则序列的共轭有:
   $$x^{\ast }[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}{X}^{\ast }(z^{\ast })$$

7. 卷积性质

$$x_1[n]\ast x_2[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}{X}_1(z)X_2(z)$$
8. 频域微分
$$nx[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}-z\frac{X(z)}{dz}$$
9. 初值定理
当n<0时,x[n]=0,则
$$x[0]=\underset{z\to \infty }{\lim }X(z)$$
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
a.稳定性:极点在单位圆里面
b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点

系统

在上面的基础上,这里就只做简述吧

系统的特性

针对线性移不变系统,其中线性有:

1. 其次性
2. 叠加性
   移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
3. 稳定性
   $$|h(t)|<\infty$$
4. 因果性
   $$h(t)=0,t<0$$
   相应用z变换判断的在上头

系统的表示

1. 框图
2. 差分方程
3. 系统单位脉冲响应h[k]
4. 系统频率响应$H(j\omega )$
5. 系统函数H(z)

相应的转换关系:

1. 差分方程to系统函数:
   已知差分方程:
   $$\sum _{i=0}^n{a}_{i}y[k-i]=\sum _{j=0}^m{b}_{j}f[k-j]$$
   对其求z变换得:
   $$\sum _{i=0}^n{a}_i{z}^{-i}{Y}_f(z)=\sum _{j=0}^m{b}_j{z}^{-i}F[z]$$
   所以系统函数为:
   $$H(z)=\frac{Y_f(z)}{F(z)}=\frac{{\sum }_{j=0}^m{b}_j{z}^{-j}}{su{m}_{i=0}^n{a}_i{z}^{-i}}$$

2. 系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
   $$H(z)=\frac{Y_f(z)}{F(z)}=\mathcal{Z}\{h[k]\}$$

3. 系统函数to系统频率响应
   对因果系统,且系统稳定时:
   $$H(e^{j\Omega })=H(z){|}_{z=e^{j\Omega }}=|H(e^{j\Omega })|e^{j\phi (\Omega )}$$

4. 系统函数to框图

   1. 先将系统函数化成零极点形式
   2. 按照零点系数和阶数画前馈通路
   3. 按照极点系数和阶数画后馈通路

已知未完善地方

1. z变换本身的性质写得不多
2. 没介绍模拟的奇异信号及其性质