Coursera北大《数据结构基础》之概论

刷书有点看不下去了，打算换课程试试。

Mooc上有一样的内容，更喜欢Coursera。

 

本文基于Coursera北大课程《数据结构基础》，所有文中非标注图片均来自课件，侵删

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程序 = 数据结构 + 算法

 

1. 问题求解

数据结构与算法是围绕问题求解进行的。那么什么是问题求解的过程呢？

我们要明确编写计算机程序的目的是为了解决实际应用问题。面对一个问题，首先，我们要将其抽象出来，抓住问题的核心，建立问题模型；伴随着问题会有一些数据出现，我们需要使用合适的数据结构来表示数学模型；在数据模型的基础上，我们使用合理的算法进行设计。

这里要注意的一点是，数据结构是离不开算法的，其由逻辑、存储和运算三个方面组成。通常来说这里的“运算”就是指算法。通常程序设计中的算法和数据结构抽象是可以一同进行的。

课程中举了一个《过河游戏》的例子，刚好是我小时候很爱玩的一个游戏（第二关怪兽吃人简直是童年阴影），每一关都挺好玩的，值得尝试，链接如下：

http://www.e-bobo.net/php/game1.php?ID=472&Page=6&Name=%E9%81%8E%E6%B2%B3%E9%81%8A%E6%88%B2

第一关如下：

狼不能和羊单独在一起；羊不能和菜单独一起；人作为限制条件可以阻止A被B吃掉（人必须在船上）。目标是一顿操作要把狼羊菜都运到对岸。

这个问题中，模型就是人-狼-羊-菜的图模型：

不合理状态有：人狼、狼羊、羊菜、人菜、狼羊菜、人。

最终状态为（右岸）空。

步骤如下：

我们可以把它转化为一个矩阵求最短路径的问题：

因为这个问题以后会详细说，这里就不展开了。

 

2. 数据结构与抽象数据类型

结构=实体+关系

数据结构=逻辑关系+数据存储方法+运算【三者缺一不可】

整个数据结构以逻辑关系为主线来组织。

 

2.1 数据结构的逻辑关系

2.1.1 线性结构

线性表（表、栈、队列、串等）：最简单最通用的结构

2.1.2 非线性结构

树（二叉树，Huffman树，二叉检索树等）

图（有向图，无向图等）

 

2.2 数据结构的存储结构

是从逻辑结构到物理存储空间的映射，主要有顺序（数组形式，连续存储）、链接（指针的地址指向关系，十分重要，尤其对非线性结构）、索引（对数据建立索引表，通过表找到数据存储地址）、散列（特殊的索引结构，通过关键码映射快速找到存储空间）四种形式组成，其中前两种形式是基础。

这里注意一点，访问内存任意一个地址所需要的时间都是相同的。

对于逻辑结构（K，r），其中r∈R，对结点集K建立一个从K到存储器M的单元的映射：K→M，对于每一个结点j∈K都对应一个唯一的连续存储区域c∈M。

具体例子如上图所示，有一个长度为3的整型数组a，如果a[0]的起始地址是4，那么相对应地，a[1]就是8，a[2]是12（每一个整型数值占4字节）。

 

2.3 抽象数据类型（Abstract Data Type, ADT）

数据如何存放在内存里并不是重点，重点是如何表示。抽象数据类型是随着模块化和面向对象方法发展起来的。

ADT主要关乎逻辑和运算两个方面，和物理存储没有关系。

一个抽象数据结构二元组可以表达为：<数据对象D，数据操作P>。

通常我们先定义逻辑结构（数据对象及其关系），再定义运算（数据操作）。

这里举了一个栈的ADT的例子：

栈的逻辑结构是线性表，操作特点是限制访问端口，也就是说，栈必须是按照一定逻辑顺序排列（如下图所示）。栈遵循的是先进后出（出栈：读pop；入栈：写push），不允许从中间地址进行数据操作。

 

3. 算法特性及分类

算法是对特定问题求解过程的描述，是有限的指令。

3.1 算法特性

（1）通用性

算法对这一类问题都适用。例如求取1+2+3+4的和，我们可以用（1+4）*（4/2）=10求得，那么推广至：n个从a开始到b结束的整数的连加（n为偶数）则为(a+b)*(n/2)。

（2）有效性

算法是有限条指令序列，由一系列具体步骤组成。每一步都必须是有效的。

（3）确定性

每一步都必须是明确的，可以获得明确的结果，而不是模棱两可的描述。

（4）有穷性

有限步数内结束。

 

3.2 算法的分类

（1）穷举法

就是挨个访问、搜索寻找答案

（2）回溯、搜索

树和图遍历。通过一些已知的不可能情况排除穷举法中的一些例子，避免资源浪费

（3）递归分治

二分法、快排、归并排序

（4）贪心法

前提是数据必须具有贪心特质，在每次一求解中都贪心最优解，得到的解的集合也是最优的。例如Huffman编码树、最短路径Dijkstra算法和最小生成树Prim算法等

（5）动态规划

初高中学的那个

 

4. 算法效率与度量

设计一个算法后，我们要关注算法的时间和空间效率，尤其是时间效率（即该算法能不能在规定时间内完成任务）。

 

4.1 大O表式法（时间效率）

（1）定义

设f和g是定义域为自然数、值域为非负实数集的函数。如果存在正数c和n0，使得对于任意n>=n0,都有f(n)<=cg(n)【即f(n)总在集合O(g(n))中】，则称f(n)是O(g(n))的，或f(n)=O(g(n))。

 

（2）相关符号

大O表示一个函数增长率的上限，这里需要注意一个函数的增长率上限可能不止一个，我们需要尽量寻找最逼近的那个。

除了大O表式法，我们还用Ω来表示一个函数增长率的下限，有大Ω表式法。当同时表示上限和下限时，我们用Θ。在很多数据结构教材里，人们会把ΩΘ混用。一般教材中只会介绍大O表式法，当遇到其它两种时，用类比思想考虑即可【即找到最紧的下界用大Ω表式法；当上限和下限相同时，用大Θ表式法：有c1和c2把f夹在中间】。

 

（3）关于n

我们默认n0之前的n是小样本的，因此并不关心n0之前的效率问题。

 

（4）大O表式法的单位时间

以下简单的语句可以被视为单位时间：

1. 简单boolean或算术运算
2. 简单函数I/O（不包括耗时、不可控的外设I/O）
3. 函数返回

 

（5）大O表式法运算法则

加法规则：

例如

中，O(f(n))=n^3

加法规则在顺序结构（如if, switch）中适用

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乘法规则：

适用于for, while, do-while结构

例如如下代码块的大O复杂度就是n*n。

for(i=0;i

 

4.2 增长率函数曲线

 

如图所示【上图摘自Coursera北京大学《数据结构与算法》】，如果能找到log2n的增长率算法就很好了。但是在做搜索引擎等算法时，我们希望O（f）=O（1）的，需要特殊的算法。

 

通常在设计一个算法时，我们需要考虑最好（例如排序中的插入排序）、最坏（压力测试）和平均情况（统计意义下算法大致性能，例如概率期望值），然后进行组合考虑。

 

4.3 二分法检索性能分析

在决策树下，每下降一层的性能都用log以2为底来衡量。

 

在上图【摘自Coursera北京大学《数据结构与算法》】的例子中，我们使用二分法检索，用到了二叉树。最大检索长度为log2（n+1）

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，去a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果xa[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.

时间复杂度无非就是while循环的次数！

总共有n个元素，

渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k，其中k就是循环的次数

由于你n/2^k取整后>=1

即令n/2^k=1【二分只能到1，之后要结束】

可得k=log2n,（是以2为底，n的对数）

所以时间复杂度可以表示O()=O(logn)
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作者：frances_han 
来源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/frances_han/article/details/6458067 
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4.4 数据结构和算法的选择

大多数时候数据结构的设计是先于算法设计的，但是也有特殊情况，例如某些经典问题需要特定算法解决，我们可能为了能实现这种算法而用特定数据结构来表示。

在设计数据结构时，要注意数据结构的可扩展性，即在数据输入规模发生变化时，数据结构是否能够适应并依然能够进行问题求解。