《大话数据结构笔记》--二叉树的定义及性质

定义 : 二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集合（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

二叉树特点

• 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树不存在度大于2的结点
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它为左子树还是右子树

二叉树的5种基本形态

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根结点只有左子树
• 根结点只有右子树
• 根结点既有左子树又有右子树

思考：如果是有3个结点的树，有几种形态？如果是有3个结点的二叉树，考虑下，又有几种形态？，列出如下图

三个结点的树只有两种情况，即上图树1和后四种中的任一种（后四种等价）
但对于二叉树，由于区分左右，那么三个结点的树有5种形态，后四种分别代表不同的二叉树。

特殊二叉树

斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层，这样的二叉树称为满二叉树

满二叉树的特点：

1. 叶子只能出现在最下一层
2. 非叶子结点的度一定是2
3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子最多

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树，如图

完全二叉树的性质：

1. 叶子结点只能出现在最下两层
2. 最下层的叶子一定集中在左边连续位置
3. 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右边连续位置
4. 如果结点的度为1，则该结点只有左孩子
5. 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

二叉树的性质

性质1

在二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$个结点（i>=1)，应用数学归纳法可以验证

性质2

深度为k的二叉树至多有KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: {2^{k-1}个结点

性质3

对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数(叶子结点数）为$n_0$，度为2的结点数为$n_2$，则$n_0=n_2+1$

一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设$n_1$为度是1的结点数，$n_0$ 为叶子结点数， $n_2$为度是2的结点数，则$T=n_0+n_1+n_2$.
上图中，结点数是10，它是由A, B, C, D度为2的结点，F, G, H, I, J度为0的叶子结点和E度为1的结点组成，总和为4+5+1=10, 总分支线为$4\ast 2+1=9$，表达式为$分支线总数=n-1=n_1+2n_2$， 结合前面的$n=n_1+n_2+n_3$，可推导出$n_0=n_2+1$

性质4

具有n个结点的完全二叉树的深度为$[lo{g}_{2}n]+1$([x]表示不大于x的最大整数）

由满二叉树的定义，深度为k的满二叉树的结点数n一定是$2^k-1$，完全二叉树的结点数一定少于等于同样深度的满二叉树的结点数$2^k-1$,但一定多于$2^{k-1}-1$（完全二叉树的深度一定大于k-1），那么完全二叉树结点数n的不等式有$2^{k-1}-1<n<=2^k-1$,那么有$2^{k-1}<=n<2^k$，不等式两边取对数，得到$k-1<=lo{g}_{2}n<k$，k为整数， 则有$k=[lo{g}_{2}n]+1$

性质5

如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序号编号，对任一结点$i$，有：
1.如果$i=1$, 则结点i是二叉树的根，无双亲；如果$i>1$，则其双亲结点是[i/2]
2. 如果$2i>n$，则结点$i$无左孩子，否则其左孩子是结点$2i$
3. 如果$2i+1>n$，则结点$i$无右孩子，否则其右孩子的结点$2i+1$