《大话数据结构笔记》--堆排序

堆是具有如下性质的完全二叉树:
每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（如9-7-2左图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（如9-7-2右图所示）

深度为k的满二叉树的结点数$n<2^k-1$, 如果对一课有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对于任意结点$i(1<=i<=n)$，有如下：
如果$i=1$，则结点$i$是二叉树的根，无双亲，如果$i>1$， 则其双亲是结点[i/2]， 其中[]表示下取整。其左孩子为结点$2i$, 右孩子结点为$2i+1$
如果将图9-7-2的大顶堆和小顶堆用层序遍历存入数组，数组的索引满足上面的关系，如下图所示

堆排序算法

堆排序是利用堆进行排序的方法，基本思想是将待排序的序列构成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根结点，将它移走（将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构成一个堆，这样就得到n个元素的次小值。如此反复执行，便得到一个有序序列。
下面用例子来模拟整个过程

1. 上图为一个大顶堆，90位最大值，将90与20（末尾元素互换），那么20为根结点，90成了整个堆序列的最后一个元素
2. 对根结点20进行调整，先与其最大的子结点80交换，在与最大的子结点50交换，使得除最后一个元素90以外的结点满足大顶堆的定义，如下图
   
3. 再将30与80互换，按照2步骤，生成满足如上定义的最大顶堆的定义，反复1， 2， 3步骤…
   
   那么在实现堆排序的过程中，最核心的要考虑两个问题:

• 如何由一个无序序列构成一个堆？
• 如果在输出堆顶元素后，如何调整剩余元素称为一个新的堆？

假设我们要排序的序列是[50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20]，序列的长度为9，那么根据如果结点编号为$i$， 其右孩子结点编号为$2i$, 右孩子结点编号为$2i+1$

索引	值	左孩子	右孩子
1	50	10	90
2	10	30	70
3	90	40	80
4	30	60	20
5	70
6	40
7	80
8	60
9	20

对应的二叉树为下图

将待排序的序列构建称为一个大顶堆，就是从下往上、从右往左，将每个非终端结点（非叶结点，有孩子的）当做根结点，将其和其子树调整成大顶堆
也就是将图9-7-5中30, 90, 10, 50的结点调整，构成大顶堆的过程。用python 语言实现

def heap_adjust(nums, i, length):
    # 数组nums为[0, 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60,20]
    temp = nums[i]
    # 遍历沿着结点i的孩子结点向下筛选
    j = 2 * i  # 右孩子结点编号
    while j <= length:
        if j < length and nums[j] < nums[j+1]:
            # 如若右孩子大于左孩子
            j += 1
        if temp > nums[j]:
            break
        # 将较大的子结点赋值给根结点，注意不是交换，还需再进行检测下一层子结点
        nums[i] = nums[j]
        i = j
        j *= 2
    nums[i] = temp

def heap_sort(nums, length=9):
    # 注意二叉树的结点编号为数组索引加1,为了方便计算，我们在数组索引为0处增加了0元素
    length = len(nums)
    for i in range(length//2, 0, -1):
        heap_adjust(nums, i, length)

下面实现排序的过程

    for i in range(length, 0, -1):
        swap(nums, 1, i)  # 将堆顶记录（根结点）和当前未经排序的子序列的最后一个记录交换
        heap_adjust(nums, 1, i-1)