july算法4——图论

1.图定义

• 描述事物之间的关系
• 结点集 V = {v1, v2, …, vn}
• 边集合 E = {e1, e2, …, em},其中 ei = ( vi, vi’)
  . G =
• 有向图 <-无向图
• 空间复杂度：O(n + m)或 O(n 2)
• 邻接矩阵邻接表

2.拓扑排序

2.1 定义

• 有向无环图（DAG）
• 场景：任务依赖
• 时间复杂度 O(n + m)
• 附加空间复杂度 O(n)
• 每次找入度为0的点
• 维护入度

2.2 过程

2.3 应用

• 假设你有一些任务，以及这些任务之间的依赖关系
• 每个任务有一个完成时间Ti
• 假设可以无限并行，最少要多少时间才能完成？

2.4 作业

• Leetcode 207. Course Schedule

3.最短路（Dijkstra，Floyed)

3.1 定义

• 假设E集合（边集）是有权重的

• 具象
  V集合代表城市
  E集合代表城市间高速路，权重为高速路长度

• 两点间存在若干条通路

• 长度最短的通路->最短路

3.2 单源最短路

• 给定起点s，求到任意点的最短路（Dijkstra）
• 贪心：每次找最近的点
• 维护s到每个点的距离
• 局部最优等于全局最优
• 时间复杂度 O(n 2)
• 附加空间复杂度 O(n)

Q = {}
d[s] = 0,其余值为正无穷大 
while (|Q| < |V|)
  取出不在Q中的最小的d[i]
  for (i相邻的点j，j不属于Q) 
    d[ j] = min(d[ j], d[i] + c[i][ j])//维护距离 
  Q = Q + {i}

3.3 单源最短路作业

• 边权可以为负数么？
• 可以存在负权回路么？
• 实现一个Dijkstra
• 比较与Prim算法（最小生成树）差别
• 思考当m << n 2（稀疏图）时，如何优化
• 堆优化

3.4 单源次短路

• 给定起点s，求到任意点的次短路（距离大于最短路的最短的路）

• v的次短路：
  顶点u的最短路再加上u->v的边
  顶点u的次短路再加上u->v的边

• 在原来的代码上加入次短路即可

3.5 任意两点最短路

• 求到任两点间的最短路（Floyed）
• 类似动态规划：每次加入一个点
• 维护任意两点间的距离
• 时间复杂度 O(n 3)
• 附加空间复杂度 O(n 2)

for i := 1 to n do 
  for j := 1 to n do 
    read(f[i, j]); 
for k := 1 to n do 
  for i := 1 to n do 
    for j := 1 to n do 
      f[i, j]= min(f[i, j], f[i, k] + f[k, j]);

3.6 思考

边权可以为负数么？
可以存在负权回路么？
N次dijkstra = Floyed？

4.最小生成树

• 无向图

• 树 ->无环（圈） .破圈法，避圈法

• Prime
  时间复杂度O(n^2)

• SPFA(Bellman-Ford)

Q={s} 
While not empty(Q) 
  u = dequeue(Q) 
  for v ∈ adj[u] 
    if d[u] + g[u, v] < d[v] 
      d[v] = d[u] + g[u, v] 
      if not v in Q 
        enqueue(v);

参考

• 1）面试求职 第四期