Python3：《机器学习笔记与实战》之Logistic回归（2）损失函数（cost function）详解

有监督学习
机器学习分为有监督学习，无监督学习，半监督学习，强化学习。对于逻辑回归来说，就是一种典型的有监督学习。 
既然是有监督学习，训练集自然可以用如下方式表述： 
{(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)}
{(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xm,ym)}
对于这m个训练样本，每个样本本身有n维特征。再加上一个偏置项x0x0, 则每个样本包含n+1维特征： 
x=[x0,x1,x2,⋯,xn]T
x=[x0,x1,x2,⋯,xn]T

其中 x∈Rn+1x∈Rn+1, x0=1x0=1, y∈{0,1}y∈{0,1}
李航博士在统计学习方法一书中给分类问题做了如下定义： 
分类是监督学习的一个核心问题，在监督学习中，当输出变量Y取有限个离散值时，预测问题便成为分类问题。这时，输入变量X可以是离散的，也可以是连续的。监督学习从数据中学习一个分类模型或分类决策函数，称为分类器(classifier)。分类器对新的输入进行输出的预测(prediction)，称为分类(classification).

在logistic回归详解一(http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51154481）中，我们花了一整篇篇幅阐述了为什么要使用logistic函数:
hθ(x)=g(θTx)=11+e−θTx
hθ(x)=g(θTx)=11+e−θTx

其中一个重要的原因，就是要将Hypothesis(NG课程里的说法)的输出映射到0与1之间，既： 
0≤hθ(x)≤1
0≤hθ(x)≤1
同样是李航博士统计学习方法一书中，有以下描述： 
统计学习方法都是由模型，策略，和算法构成的，即统计学习方法由三要素构成，可以简单表示为： 
方法=模型+策略+算法
方法=模型+策略+算法
对于logistic回归来说，模型自然就是logistic回归，策略最常用的方法是用一个损失函数(loss function)或代价函数(cost function)来度量预测错误程度，算法则是求解过程，后期会详细描述相关的优化算法。

logistic函数求导
g′(z)=ddz11+e−z=1(1+e−z)2(e−z)=1(1+e−z)⋅(1−1(1+e−z))=g(z)(1−g(z))
g′(z)=ddz11+e−z=1(1+e−z)2(e−z)=1(1+e−z)⋅(1−1(1+e−z))=g(z)(1−g(z))
此求导公式在后续推导中会使用到

常见的损失函数
机器学习或者统计机器学习常见的损失函数如下：

1.0-1损失函数 （0-1 loss function） 
L(Y,f(X))={1,0,Y ≠ f(X)Y = f(X)
L(Y,f(X))={1,Y ≠ f(X)0,Y = f(X)
2.平方损失函数（quadratic loss function) 
L(Y,f(X))=(Y−f(x))2
L(Y,f(X))=(Y−f(x))2
3.绝对值损失函数(absolute loss function) 
L(Y,f(x))=|Y−f(X)|
L(Y,f(x))=|Y−f(X)|
4.对数损失函数（logarithmic loss function) 或对数似然损失函数(log-likehood loss function) 
L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)
L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)
逻辑回归中，采用的则是对数损失函数。如果损失函数越小，表示模型越好。

说说对数损失函数与平方损失函数
在逻辑回归的推导中国，我们假设样本是服从伯努利分布(0-1分布)的，然后求得满足该分布的似然函数，最终求该似然函数的极大值。整体的思想就是求极大似然函数的思想。而取对数，只是为了方便我们的在求MLE(Maximum Likelihood Estimation)过程中采取的一种数学手段而已。

损失函数详解
根据上面的内容，我们可以得到逻辑回归的对数似然损失函数cost function： 
cost(hθ(x),y)={−log(hθ(x))−log(1−hθ(x))if y=1if y=0
cost(hθ(x),y)={−log(hθ(x))if y=1−log(1−hθ(x))if y=0
稍微解释下这个损失函数，或者说解释下对数似然损失函数： 
当y=1时，假定这个样本为正类。如果此时hθ(x)=1hθ(x)=1,则单对这个样本而言的cost=0,表示这个样本的预测完全准确。那如果所有样本都预测准确，总的cost=0 
但是如果此时预测的概率hθ(x)=0hθ(x)=0，那么cost→∞cost→∞。直观解释的话，由于此时样本为一个正样本，但是预测的结果P(y=1|x;θ)=0P(y=1|x;θ)=0, 也就是说预测 y=1的概率为0，那么此时就要对损失函数加一个很大的惩罚项。 
当y=0时，推理过程跟上述完全一致，不再累赘。

将以上两个表达式合并为一个，则单个样本的损失函数可以描述为： 
cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))
cost(hθ(x),y)=−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))

因为 yiyi 只有两种取值情况，1或0，分别令y=1或y=0，即可得到原来的分段表示式。
全体样本的损失函数可以表示为： 
cost(hθ(x),y)=∑i=1m−yilog(hθ(x))−(1−yi)log(1−hθ(x))