有点小意思

卡尔曼滤波系列——（二）扩展卡尔曼滤波

更新日志：

2020.02.13：修改了第三节推导中的公式错误

2020.03.21：修改了2.1节中的部分表述和公式加粗，补充迹的求导公式

1 简介

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是标准卡尔曼滤波在非线性情形下的一种扩展形式，它是一种高效率的递归滤波器（自回归滤波器）。

EKF的基本思想是利用泰勒级数展开将非线性系统线性化，然后采用卡尔曼滤波框架对信号进行滤波，因此它是一种次优滤波。

2 算法介绍

2.1 泰勒级数展开

泰勒级数展开是将一个在 $x=x_{0}$ 处具有阶导数的函数，利用关于 $(x-x_{0})$ 的次多项式逼近函数值的方法。

若函数在包含 $x_{0}$ 的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上的任意一点，都有：

$f(x)=\frac{f({{x}_{0}})}{0!}+\frac{f'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+...+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})$ 表示函数在 $x=x_{0}$ 处的阶导数，等式右边成为泰勒展开式，剩余的 ${{R}_{n}}(x)$ 是泰勒展开式的余项，是 $(x-x_{0})^{n}$ 的高阶无穷小。

（著名的欧拉公式 ${{e}^{ix}}=\cos x +i\sin x$ 就是利用 ${{e}^{ix}}$ ， $\cos x$ 和 $\sin x$ 的泰勒展开式得来的！）

当变量是多维向量时，一维的泰勒展开就需要做拓展，具体形式如下：

$f(\mathbf{x})=f({{\mathbf{x}}_{k}})+{{[\nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}(\mathbf{x}-{{\mathbf{x}}_{k}})+\frac{1}{2!}{{(\mathbf{x}-{{\mathbf{x}}_{k}})}^{T}}H({{\mathbf{x}}_{k}})(\mathbf{x}-{{\mathbf{x}}_{k}})+{{o}^{n}}$

其中， ${{[\nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}={{\mathbf{J}}_{F}}$ 表示雅克比矩阵， $\mathbf{H}({{\mathbf{x}}_{k}})$ 表示海塞矩阵， ${{\mathbf{o}}^{n}}$ 表示高阶无穷小。

${[\nabla f({{\bf{x}}_k})]^T} = {{\bf{J}}_F} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_1}}}{{\partial {x_n}}}}\\ {\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_2}}}{{\partial {x_n}}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_m}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_m}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}_m}}}{{\partial {x_n}}}} \end{array}} \right]$

${\bf{H}}({{\bf{x}}_k}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial x_1^2}}}&{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_1}\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_1}\partial {x_n}}}}\\ {\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_2}\partial {x_1}}}}&{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial x_2^2}}}& \cdots &{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_2}\partial {x_n}}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_n}\partial {x_1}}}}&{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_n}\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial x_n^2}}} \end{array}} \right]$

这里， $f({{\bf{x}}_k})$ 为维， ${{\bf{x}}_k}$ 状态向量为维， $\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_m}\partial {x_n}}} = \frac{{\partial f{{({{\bf{x}}_k})}^T}}}{{\partial {x_m}}}\frac{{\partial f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_n}}}$ 。

一般来说，EKF在对非线性函数做泰勒展开时，只取到一阶导和二阶导，而由于二阶导的计算复杂性，更多的实际应用只取到一阶导，同样也能有较好的结果。取一阶导时，状态转移方程和观测方程就近似为线性方程，高斯分布的变量经过线性变换之后仍然是高斯分布，这样就能够延用标准卡尔曼滤波的框架。

2.1 EKF

标准卡尔曼滤波KF的状态转移方程和观测方程为

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=\mathbf{A}{{\mathbf{\theta }}_{k-1}}+\mathbf{B}{{\mathbf{u}}_{k-1}}+{{\mathbf{s}}_{k}}$

${{\mathbf{z}}_{k}}=\mathbf{C}{{\mathbf{\theta }}_{k}}+{{\mathbf{v}}_{k}}$

扩展卡尔曼滤波EKF的状态转移方程和观测方程为

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ （1）

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ （2）

利用泰勒展开式对（1）式在上一次的估计值 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle$ 处展开得

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)+{{\mathbf{s}}_{k}}$ （3）

再利用泰勒展开式对（2）式在本轮的状态预测值 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ 处展开得

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}=h\left( \mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{{\mathbf{H}}_{k}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}}$ （4）

其中， ${\mathbf{F}}_{k-1}$ 和 ${\mathbf{H}}_{k}$ 分别表示函数 $f(\mathbf{\theta })$ 和 $h(\mathbf{\theta })$ 在 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle$ 和 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ 处的雅克比矩阵。

（注：这里对泰勒展开式只保留到一阶导，二阶导数以上的都舍去，噪声假设均为加性高斯噪声）

基于以上的公式，给出EKF的预测（Predict）和更新（Update）两个步骤：

Propagation：

$\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)$

$\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

Update：

$\mathbf{S}_{k}^{'}={{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

$\mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}$

$\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

其中的雅克比矩阵 ${\mathbf{F}}_{k-1}$ 和 ${\mathbf{H}}_{k}$ 分别为

${{\mathbf{F}}_{k-1}}={{\left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle }}$ ， ${{\mathbf{H}}_{k}}={{\left. \frac{\partial h}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\mathbf{\theta }_{k}^{'}}}$

雅可比矩阵的计算，在MATLAB中可以利用对自变量加上一个eps（极小数），然后用因变量的变化量去除以eps即可得到雅可比矩阵的每一个元素值。

读者可能好奇？为什么扩展卡尔曼滤波EKF的传播和更新的形式会和标准卡尔曼滤波KF的形式一致呢？以下做一个简单的推导。

3 推导

先列出几个变量的表示、状态转移方程和观测方程：

真实值 ${{\mathbf{\theta }}_{k}}$ ，预测值 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ ，估计值 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle$ ，观测值 ${{\mathbf{z}}_{k}}$ ，观测值的预测 $\mathbf{\hat{z}}_{k}$ ，估计值与真实值之间的误差协方差矩阵 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ ，求期望的符号 $\left\langle \cdot \right\rangle$ 。

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{Q})$

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{R})$

引入反馈： $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{{{\mathbf{\hat{z}}}}_{k}} \right)=\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h(\theta _{k}^{'} )\right)$ （5）

OK，可以开始推导了：

由公式（3）（4）得到以下两个等式，标为式（6）（7）

$f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )={{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)$

$h({{\mathbf{\theta }}_{k}})-h\left( \mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)={{\mathbf{H}}_{k}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{{k}}^{{'}} \right)$

计算估计值与真实值之间的误差协方差矩阵 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ ，并把式子（4）（5）（7）代入，得到

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle {{\mathbf{e}}_{k}}\mathbf{e}_{k}^{T} \right\rangle =\left\langle \left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right){{\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]{{\left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]{{\left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ \left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{K}}_{k}}{\mathbf{v}}_{k}} \right]{{\left[ \left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{K}}_{k}}{\mathbf{v}}_{k}} \right]}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left\langle \left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right){{\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle {{\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}}^{T}$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}}^{T}$

其中 $\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$ 表示真实值与与预测值之间的误差协方差矩阵。于是得到式（8）

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}^{T}}}\mathbf{K}_{k}^{T}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T}$

因为 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ 的对角元即为真实值与估计值的误差的平方，矩阵的迹（用表示）即为总误差的平方和，即

$T\left[ {{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]=T\left[ \mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]+T\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T} \right]-2T\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]$

利用以下矩阵迹的求导公式（其中 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示矩阵， $\mathbf{a}$ 表示列向量）：

$Tr(\mathbf{A}+\mathbf{B})=Tr(\mathbf{A})+Tr(\mathbf{B})$

$Tr(\mathbf{AB})=Tr(\mathbf{BA})$

$\mathbf{a}^{T} \mathbf{a}=Tr(\mathbf{a}\mathbf{a}^{T})$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XBX}^{T})=\mathbf{XB}^{T}+\mathbf{XB}$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{AX}^{T})=\mathbf{A}$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XA})=\mathbf{A}^{T}$

要让估计值更接近于真实值，就要使上面的迹尽可能的小，因此要取得合适的卡尔曼增益 ${{\mathbf{K}}_{k}}$ ，使得迹得到最小，言外之意就是使得迹对 ${{\mathbf{K}}_{k}}$ 的偏导为0，即

$\frac{dT\left[ {{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]}{d{{\mathbf{K}}_{k}}}=2{{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)-2{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'} \right)}^{T}}=0$

这样就能算出合适的卡尔曼增益了，即

${{\mathbf{K}}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

代回式（8）得到

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

接下来就差真实值与预测值之间的协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$ 的求值公式了

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \mathbf{e}_{k}^{'}\mathbf{e}{{_{k}^{'}}^{T}} \right\rangle =\left\langle \left( {{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right){{\left( {{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle$

将以下两个等式代入到上式，

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， $\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )$

可以得到

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \left[f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{s}}_{k}} \right]{{\left[ f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{s}}_{k}} \right]}^{T}} \right\rangle$

有 ${{\mathbf{\theta }}_{k}}$ 、 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle$ 与观测噪声 ${{\mathbf{s}}_{k}}$ 是独立的，求期望等于零;； $\left\langle {{\mathbf{s}}_{k}}{{\mathbf{s}}_{k}}^{T} \right\rangle$ 表示观测噪声的协方差矩阵，用 ${\mathbf{Q}}$ 表示。于是得到

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}\left\langle \left( {{\theta }_{k-1}}-\left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right){{\left( {{\theta }_{k-1}}-\left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle {{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\left\langle {{\mathbf{s}}_{k}}\mathbf{s}_{k}^{T} \right\rangle \\ =\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

其中的协方差矩阵的转置矩阵就是它本身。OK，大功告成，以上就完成了全部公式的推导了。

4 实际应用

现在我们假设在海上有一艘正在行驶的船只，其相对于传感器的横纵坐标为 $(x;y;v_{x};v_{y})$ 为隐藏状态，无法直接获得，而传感器可以测量得到船只相对于传感器的距离和角度 $(r;\theta)$ ，传感器采样的时间间隔为 $\Delta t$ ，则：

状态向量 $(x;y;v_{x};v_{y})$ ，观测向量 $(r;\theta)$

状态转移方程和观测方程为：

$\left[ \begin{matrix} {{x}_{k}} \\ {{y}_{k}} \\ {{v}_{x_{k}}} \\ {{v}_{y_{k}}} \\ \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} {{x}_{k-1}} \\ {{y}_{k-1}} \\ {{v}_{{{x}_{k-1}}}} \\ {{v}_{{{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right])+{{\mathbf{s}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{x}_{k-1}} \\ {{y}_{k-1}} \\ {{v}_{{{x}_{k-1}}}} \\ {{v}_{{{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right]+{{\mathbf{s}}_{k}}$

$\left[ \begin{matrix} {{r}_{k}} \\ {{\theta }_{k}} \\ \end{matrix} \right]=h(\left[ \begin{matrix} {{x}_{k}} \\ {{y}_{k}} \\ {{v}_{xk}} \\ {{v}_{yk}} \\ \end{matrix} \right])+{{\mathbf{v}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \sqrt{x_{k}^{2}+x_{y}^{2}} \\ \arctan \frac{{{y}_{k}}}{{{x}_{k}}} \\ \end{matrix} \right]+{{\mathbf{v}}_{k}}$

那么雅克比矩阵为

${{\mathbf{F}}_{k-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

${{H}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{x}_{k}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{y}_{k}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{v}_{{{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{v}_{{{y}_{k}}}}} \\ \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{x}_{k}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{y}_{k}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{v}_{{{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{v}_{{{y}_{k}}}}} \\ \end{matrix} \right]$

这里给定距离传感器的噪声均值为，方差为；角度传感器的噪声均值为0，方差为（单位弧度）；

采样时间点为 $\small 100$ 个；

船只的初始状态为，四个状态量的噪声的方差分别为。仿真结果如下：

从仿真结果可以看出，EKF在这种情形下的滤波效果还是不错的，但是在实际应用中，对于船只运动的状态转移噪声的均值 $\mathbf q$ 和协方差矩阵 $\mathbf Q$ ，以及传感器的观测噪声的均值 $\mathbf r$ 和协方差矩阵 $\mathbf R$ ，往往都是未知的，有很多情况都只有观测值而已，这样的情形下，就有必要利用观测值对噪声的统计量参数做出适当的估计（学习）。

5 参数估计（参数学习）

利用EM算法和极大后验概率估计（MAP），对未知的噪声参数做出估计，再利用估计出的参数去递推卡尔曼滤波的解。本文对EM算法在卡尔曼滤波框架中的推导暂时先不给出，之后可能会补充，这里就先给出一种Adaptive-EKF算法的公式。

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{q},\mathbf{Q})$

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{r},\mathbf{R})$

${{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}={{\mathbf{z}}_{k}}-h(\mathbf{\theta }_{k}^{'})-{{\mathbf{r}}_{k}}$

（1）E-Step

Propagation：

$\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)$

$\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

Update：

$\mathbf{S}_{k}^{'}={{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

$\mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{G}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}$

$\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

（2）M-Step

${{\mathbf{\hat{q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ \left\langle {{\theta }_{k}} \right\rangle -f\left( \left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right) \right]$

${{\mathbf{\hat{Q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{Q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}\mathbf{K}_{k}^{T}+{{\mathbf{\Sigma }}_{k}}-{{\mathbf{F}}_{k-1}}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}\mathbf{F}_{k-1}^{T} \right]$

${{\mathbf{\hat{r}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{r}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \left\langle \theta _{k}^{'} \right\rangle \right) \right]$

${{\mathbf{\hat{R}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{R}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}-{{\mathbf{H}}_{k}}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}\mathbf{H}_{k}^{T} \right]$

利用以上的Adaptive-EKF算法对船只的运动做滤波跟踪，得到的效果如下图所示：

相比于没有做参数估计的EKF滤波，可以看出，Adaptive-EKF在估计误差上要优于EKF滤波，而且，它并不需要指定状态转移噪声和观测噪声的参数，将更有利于在实际中的应用。

6 总结

EKF滤波通过泰勒展开公式，把非线性方程在局部线性化，使得高斯分布的变量在经过线性变换后仍然为高斯分布，这使得能继续把标准卡尔曼滤波KF的框架拿过来用，总体来说，EKF在函数的非线性不是很剧烈的情形下，能够具有很不错的滤波效果。但是EKF也有它的不足之处：其一，它必须求解非线性函数的Jacobi矩阵，对于模型复杂的系统，它比较复杂而且容易出错；其二，引入了线性化误差，对非线性强的系统，容易导致滤波结果下降。基于以上原因，为了提高滤波精度和效率，以满足特殊问题的需要，就必须寻找新的逼近方法，于是便有了粒子滤波PF和无迹卡尔曼滤波UKF，笔者将在接下来的博文中为读者解读。

7 参考文献

[1] 林鸿. 基于EM算法的随机动态系统建模[J]. 福建师大学报(自然科学版), 2011, 27(6):33-37.

[2] https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5560360.html.

[3] https://max.book118.com/html/2017/0502/103920556.shtm.

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新网师的精神肤色（幕布笔记）悦读书香
王子老师的《极简100小妙招》收到已经几天了，之前大概的浏览了全书，今天起给自己定了一个计划，必须每天学习极简小妙招里面的一个妙招，并加以运用。一、今天要打卡什么内容因有完成每天学习极简小妙招的计划，所以今天晚饭吃的比较简单，草草吃完以后带着小宝到广场溜达一圈，急忙赶回来学习极简小妙招。再重看的时候不知道自己要学点什么，打卡哪一招，感觉哪个都简单，就看这一环节像王子老师说的“一看就会”，但做这一环
学习JavaEE的日子 Day32 线程池 A 北枝学习JavaEE 学习 java-ee java 线程池
Day32线程池1.引入一个线程完成一项任务所需时间为：创建线程时间-Time1线程中执行任务的时间-Time2销毁线程时间-Time32.为什么需要线程池(重要)线程池技术正是关注如何缩短或调整Time1和Time3的时间，从而提高程序的性能。项目中可以把Time1，T3分别安排在项目的启动和结束的时间段或者一些空闲的时间段线程池不仅调整Time1，Time3产生的时间段，而且它还显著减少了创建
没有如释重负君远近
虽然只有短短的一个多月的努力复习时间，但今天的整个考试经过，还是发现了效果的，题目做的比较自如，没有慌里慌张，而且提前五分钟完成。至于考试成绩，没有实足的把握，60分都不敢保证。但绝对相信自己，比去年肯定要好！今天早早的赶到考场，见到了刘老师，谈起来学习情况，坦率的说，真的是自己不够重视。总以为会很难，没有信心。其实不是的，只要认真对待，树立足够的信心，绝对可以通过考试的。还向老师询问了，后续再报
C++学习笔记（lambda函数） __TAT__ C&C++c++学习笔记
C++learningnote1、lambda函数的语法2、lambda函数的几种用法1、lambda函数的语法lambda函数的一般语法如下：[capture_clause](parameters)->return_type{function_body}capture_clause：需要捕获的变量，但要求该变量必须在这个作用域中。通常的捕获方式有以下几种：[]：不捕获任何变量[&]：按引用捕获变
心赏（2018.10.8）六一节_3928
1.上班第一天，同事彤休完产假，回来上班，给我带了酸奶和水果。她生小孩时，我给她发了一个小红包贺喜，哪知她就记在心里了。心赏这个有心的90后。2.女儿放学回来，说自己当了小组长。一边说不想当，一边得意的样子。心赏老师给了孩子这个锻炼的机会。3.老妈今天做了"蚂蚁上树"的菜，得到女儿的高度肯定。心赏老妈还在不断学习。
chrome扩展，“manifest_version“: 3, chrome 扩展图标点击事件徐同保 chrome 前端
在Chrome扩展中，从ManifestV3开始，后台脚本（backgroundscripts）被服务工作线程（serviceworkers）所取代。这改变了扩展图标点击事件（通常称为浏览器操作或者页面操作）的处理方式。在ManifestV3中，您需要使用chrome.action.onClicked监听器来处理扩展图标的点击事件。下面是一个如何设置扩展图标点击事件处理器的示例：在manifest
2022-2-13晨间日记越亮也打烊
今天是什么日子起床：7:00就寝：12:08天气：晴心情：糟糕纪念日：无任务清单昨日完成的任务，最重要的三件事：寒假作业，网课，画画改进：作业时间剪短习惯养成：网课不逃～周目标·完成进度数学卷子100％学习·信息·阅读《傅雷家书》《钢铁是怎样炼成的》健康·饮食·锻炼我终于不喝饮料啦，喝茶～人际·家人·朋友邝姐姐带我吃火锅工作·思考啥时候开学，我还有几天赶完作业最美好的三件事1.卷子写完了2.我有冰
中原焦点团队38期王芳芳坚持分享第236天，20230630总约练134次，来访113次，咨8次，观察员13次芳芳王
学习焦点的初心是想拯救孩子，孩子由于沉迷游戏，成绩下滑，在学习的过程中发现是自己的教育方式出了状况。经过半年的学习，一些焦点的基本技巧，如接纳、欣赏、倾听、同理心、尊重等都有了一定的了解。但在实际应用时仍然存在很多问题，感觉自己仍然没有放下对孩子成绩的期望，仍然把握不住对孩子管理的度。我该如何去陪伴好孩子？多用心去听课，并加强反思，多约练。去思考如何让自己快乐起来？
大创项目推荐深度学习 opencv python 公式识别(图像识别机器视觉) laafeer python
文章目录0前言1课题说明2效果展示3具体实现4关键代码实现5算法综合效果6最后0前言优质竞赛项目系列，今天要分享的是基于深度学习的数学公式识别算法实现该项目较为新颖，适合作为竞赛课题方向，学长非常推荐！学长这里给一个题目综合评分(每项满分5分)难度系数：3分工作量：4分创新点：4分更多资料,项目分享：https://gitee.com/dancheng-senior/postgraduate1课题
#D174-读书会作业-《财务自由之路》3 白洲笔记
最近沉迷于写作营，一直就没时间去弄读书会的作业，书的第二遍也就看了个开头，趁着日更的时间，赶紧把作业做了，这次是15到21课。【1.印象最深刻的部分】(本周所读内容中印象最深刻的部分)*活在未来，最正确的方法是什么？用正确的方法做正确的事情，判断什么是正确的？逻辑。学会思考。"作对事情"永远比“把事情作对“重要的多。”长远思考，耐心验证，小心总结提炼“证明自己正确并不是学习的任务和目标，时刻成长，
el-dialog宽度自适应 STATICHIT静砸 JavaScript vue.js elementui javascript 自适应
最近在自适应上做了很多功夫其中有一个是，在使用element-plus的el-dialog时，在pc端和在手机端打开，由于屏幕宽度的不同，我希望el-dialog的宽度是不一样的。而el-dialog设置宽度是通过width属性，直接用%来相对窗口设置宽度。我先后尝试了媒体查询，监听屏幕宽度和监听视口宽度来自适应。1️⃣首先，直接给el-dialog设置自定义class结合媒体查询是无效的，直接设
账务处理又出错？资深会计来教你，学会效率翻倍！共同学习小橘子要努力吖
作为一名会计，在实际工作中会遇到各种麻烦的账务处理问题。那么，最常用的会计处理方法都有哪些呢？今天小编为大家带来了从业二十六年的资深老会计分享的十四中会计常用的账务处理问题的解决方案，快来看看吧！一、促销品的账务处理在促销时公司经常会把一些商品按进价赠送给消费者使用二、款已付清但发票未到的账务处理三、购买材料发生不合理损耗的账务处理问题公司在购买材料时，常常会发生一些不合理的损耗，那么这种问题该怎
【真诚子】通晓鬼谷第七篇读书日记。真诚子l通晓鬼谷
今天把个人品牌，从193读到208页，书的内容质量出奇的高，尤其是这一段。对标学习法，找一个比自己强，或者你期望成为的人进行模仿性学习，对标学习，不是到处，去找人对标兵学习很多人的优点，或是学习自己认为好的方面，而是找准一个对标高手，然后全方位的学习这个人。我在做品牌咨询时就对标，学习了一个在国内很有名的行业顶尖大咖。我先找到他公司的方案，进行完全模仿，连PPT的排版都一样，而且我只参照他一个人的
ES-LTR粗排模块 poins jenkins 运维
ES-LTR粗排模块官方资源：https://github.com/HeiBoWang/elasticsearch-learning-to-rankElasticsearch学习排名插件使用机器学习提高搜索相关性排名。它为维基媒体基金会和Snagajob等地方的搜索提供了动力！这个插件有什么功能此插件：允许您在Elasticsearch中存储特征（Elasticsearch查询模板）记录特征得分（
2018-11-18成长小组学习笔记实验中学45
因为嗓子“罢工”，我面对众人只能借“微笑”代言。在开始授课前，绣霞老师先反馈上次作业的情况，提到“接纳”需是真正发自内心的完全接纳，而不是口头上的接纳，内心却是排斥的。提到一个“问题”孩子恰恰对家爱的更加“深沉”，夫妻间的问题不能影响到孩子，对孩子更好的爱不是你为他做的更多，而是给他自由、健康成长的空间。图片发自App一、孩子：家庭的一面镜子夫妻成了彼此的“投射”，婚姻便“吵的不可开交”，婚姻便成
2019-07-16 振华老凤祥店长崔宁宁
大爱的李老师，智慧的教授，亲爱的跃友们：大家好！我是莱州鑫和金店李总的人～崔宁宁今天是我的日精进行动第56天，我分享一下今天的改变，我们相互勉励，每天进步一点点，离成功便不远。1、比学习：人这一生最主要的就是信念，坚定不移的信念是成功路上的重要基石！2、比改变：我是一切的根源，我变了世界就变了！改变自己的心态！3、比付出：承担才能成长，付出才会杰出！4、比谦卑：学习每位优秀店长身上的优点！5、比感
python清华大学出版社答案_Python机器学习及实践 weixin_39805119 python清华大学出版社答案
第1章机器学习的基础知识1.1何谓机器学习1.1.1传感器和海量数据1.1.2机器学习的重要性1.1.3机器学习的表现1.1.4机器学习的主要任务1.1.5选择合适的算法1.1.6机器学习程序的步骤1.2综合分类1.3推荐系统和深度学习1.3.1推荐系统1.3.2深度学习1.4何为Python1.4.1使用Python软件的由来1.4.2为什么使用Python1.4.3Python设计定位1.4.
2018-12-02 子分小
姓名：张颖公司：菲尔德国际英语【反省总结第146天，始于20180709今天是20181202】【知～学习】六项精进大纲背诵3遍每天十个单词坚持第181天每天学习一篇英文文章第94天英语流利说课程第71天学习30分钟【行～实践】一、修身：（对自己个人）步行5000步二、齐家：（对家庭和家人）无三、建功：（对工作)完成与Arti活动课和两节Demo准备开班事宜｛积善｝：发愿从2018年7月9日起1年
如何成为思维的高手？明安包装闫慧玲
六项精进训练营Day2复盘20210112湖北荆州学习靠氛围，成长靠圈子1.关于金钱认知金句：1.当今世界，非钱不行2.有钱能使鬼推磨3.金钱是万恶之本4.时间就是金钱5.金钱不是万能的，但是没有钱是万万不能的6.谈钱伤感情，谈感情伤钱道德系统→好人→美德→回流利益系统→好好生活天下熙熙皆为利来，天下攘攘皆为利往出自西汉著名史学家、文学家司马迁《史记》的第一百二十九章“货殖列传”。这句话意思是说天
十分钟自由写作知意zy
主题：我缺乏的东西自从加入2022年弘丹写作学院，感觉每天的生活都忙碌了起来，我要上班，要学习。所以我每天都必须拼尽全力向前奔跑，才追得上小伙伴们的脚步。在写作学院，我学会了反省自己的不足，我的想法多，缺乏的东西也太多。比如：写作的文笔，写作逻辑，底层自信心……看到社群里那么多优秀的小伙伴，我感觉自己越来越自卑，我这么一个平庸的人，会完成今年的写作目标吗？我开始不停怀疑自己是否能坚持下去。而弘丹老
2021-04-11 英英成长日记
（1）每天写50字以上的催眠语言肯定自己或孩子或爱人今天的公益沙龙第二期，你有充分的准备！所以一切都很顺利！你还可以更灵活，我相信你可以做到！你是一个有爱的人！爱能成就一切！加油！分享也是成长！你说对吗？（2）每天晚上跟潜意识沟通一次。谢谢你潜意识，今天支持我讲完两个小时沙龙！感恩你每天这样支持我成长学习！（3）每天学习三条时间管理方法，共100条。(4)自己想要坚持3件事（确定下来至少一件，坚持
忙忙碌碌才是生活北渔说
观海年后上班，因为项目接近尾声甚是消闲。说是消闲，其实身消闲，心不消闲。都说当下社会是焦虑的社会，因为人们普遍焦虑。上班已有半月，想想这好像是上班几年来最空闲的一段时间了。空闲的主要原因是工作处在了瓶颈期，心有余而力不足。因为有一颗力求完美的心，但却没有力求完美的能力，所以徒有焦虑。不知道大家有没有这种感觉，在高压学习或工作一段时间之后，突然闲下来就会茫然无措。有时候读一本长篇，好不容易结束本来应
数据管理知识体系指南（第二版）-第五章——数据建模和设计-学习笔记键盘上的五花肉数据治理数据库数据仓库数据治理
目录5.1引言5.1.1业务驱动因素5.1.2目标和原则5.1.3基本概念5.2活动5.2.1规划数据建模5.2.2建立数据模型5.2.3审核数据模型5.2.4维护数据模型5.3工具5.3.1数据建模工具5.3.2数据血缘工具5.3.3数据分析工具5.3.4元数据资料库5.3.5数据模型模式5.3.6行业数据模型5.4方法5.4.1命名约定的最佳实践5.4.2数据库设计中的最佳实践5.5数据建模和
职场人员学习时间管理的重大意义时间管理v8
时间管理是指通过事先规划和运用一定的技巧、方法与工具实现对时间的灵活以及有效运用，从而实现个人或组织的既定目标。职场人员能否在自己的事业生涯中取得成功，秘诀就在于搞好时间管理。世界上最重要的东西是"时间"，不能管理时间，便什么也不能管理。时间是世界上最短缺的资源，除非严加管理，否则就会一事无成。职场人员学习时间管理的重大意义职场中时间陷阱为什么职场人员总是觉得时间不够，经常会导致加班加点的工作？主
遗落的光阴古诗风光
第七篇，小明的学生时代。小明和他的同桌的共听一首歌的行为已经实现了。所以每次没事就和他的同桌一起畅听音乐，这也导致了一些场面都发生，一就是她的隔壁同桌时不时的鄙夷的眼光，二是他进一步加聚了他同桌对他的态度，他的同桌除了平时的听音乐交流之外，还增加了与他的交流。其中最关键的就是，因为他的同桌没事就与他的进行生活的交流。其中最关键的就是在一个不上课的周末小明独自一人回到了宿舍进行学习。而这时他的同桌带
Linux学习系列之vim编辑器（一） llibertyll linux 学习
vi编辑器的操作模式输入模式—aio等—>命令模式<—：键—末行模式从输入/末行模式切换到命令模式都是需要按ESC键注:a光标后输入，i光标前输入，o直接向下加一行输入，O向上加一行输入在vi编辑器中光标的移动（命令行模式下）键组合（命令）光标的移动$光标移动到当前行的结尾0（零）光标移动到当前行的开始GG光标移动到最后一行gg光标移动到第一行在命令行模式下删除与复制的操作键组合（命令）含义dd删
四叶草系统会议总结-2021-09-06 小马过河的写作空间
大家好，我是狂奔的小马哥，来自深圳，一名工程师，2020年2月注册芬香，2021年2月开始建群做芬香，2021年3月底离开了一段时间，2021年9月份重新进入这个团队首先感恩芬香公司提供的平台机会，感恩我的邀请人和老师小四老师，介绍给我这么好的事业，让我可以结识到这么好的平台和优秀的老师非常感谢老师邀请我重新参与会议，让我有机会向老师和优秀的小伙伴学习悟到：经书易得，人师难求在我离开的这段时间，我
戴尔笔记本win8系统改装win7系统 sophia天雪 win7 戴尔改装系统 win8
戴尔win8 系统改装win7 系统详述第一步：使用U盘制作虚拟光驱： 1）下载安装UltraISO：注册码可以在网上搜索。 2）启动UltraISO，点击“文件”—》“打开”按钮，打开已经准备好的ISO镜像文
BeanUtils.copyProperties使用笔记 bylijinnan java
BeanUtils.copyProperties VS PropertyUtils.copyProperties 两者最大的区别是： BeanUtils.copyProperties会进行类型转换，而PropertyUtils.copyProperties不会。既然进行了类型转换，那BeanUtils.copyProperties的速度比不上PropertyUtils.copyProp
MyEclipse中文乱码问题 0624chenhong MyEclipse
一、设置新建常见文件的默认编码格式，也就是文件保存的格式。在不对MyEclipse进行设置的时候，默认保存文件的编码，一般跟简体中文操作系统（如windows2000，windowsXP）的编码一致，即GBK。在简体中文系统下，ANSI 编码代表 GBK编码;在日文操作系统下，ANSI 编码代表 JIS 编码。 Window-->Preferences-->General -
发送邮件不懂事的小屁孩 send email
import org.apache.commons.mail.EmailAttachment; import org.apache.commons.mail.EmailException; import org.apache.commons.mail.HtmlEmail; import org.apache.commons.mail.MultiPartEmail;
动画合集换个号韩国红果果 html css
动画指一种样式变为另一种样式 keyframes应当始终定义0 100 过程 1 transition 制作鼠标滑过图片时的放大效果 css .wrap{ width: 340px;height: 340px; position: absolute; top: 30%; left: 20%; overflow: hidden; bor
网络最常见的攻击方式竟然是SQL注入蓝儿唯美 sql注入
NTT研究表明，尽管SQL注入（SQLi）型攻击记录详尽且为人熟知，但目前网络应用程序仍然是SQLi攻击的重灾区。信息安全和风险管理公司NTTCom Security发布的《2015全球智能威胁风险报告》表明，目前黑客攻击网络应用程序方式中最流行的，要数SQLi攻击。报告对去年发生的60亿攻击行为进行分析，指出SQLi攻击是最常见的网络应用程序攻击方式。全球网络应用程序攻击中，SQLi攻击占
java笔记2 a-john java
类的封装： 1，java中，对象就是一个封装体。封装是把对象的属性和服务结合成一个独立的的单位。并尽可能隐藏对象的内部细节（尤其是私有数据） 2，目的：使对象以外的部分不能随意存取对象的内部数据（如属性），从而使软件错误能够局部化，减少差错和排错的难度。 3，简单来说，“隐藏属性、方法或实现细节的过程”称为——封装。 4，封装的特性： 4.1设置
[Andengine]Error：can't creat bitmap form path “gfx/xxx.xxx” aijuans 学习Android遇到的错误
最开始遇到这个错误是很早以前了，以前也没注意，只当是一个不理解的bug，因为所有的texture，textureregion都没有问题，但是就是提示错误。昨天和美工要图片，本来是要背景透明的png格式，可是她却给了我一个jpg的。说明了之后她说没法改，因为没有png这个保存选项。我就看了一下，和她要了psd的文件，还好我有一点
自己写的一个繁体到简体的转换程序 asialee java 转换繁体 filter 简体
今天调研一个任务，基于java的filter实现繁体到简体的转换，于是写了一个demo，给各位博友奉上，欢迎批评指正。实现的思路是重载request的调取参数的几个方法，然后做下转换。
android意图和意图监听器技术百合不是茶 android 显示意图隐式意图意图监听器
Intent是在activity之间传递数据;Intent的传递分为显示传递和隐式传递显式意图：调用Intent.setComponent() 或 Intent.setClassName() 或 Intent.setClass()方法明确指定了组件名的Intent为显式意图，显式意图明确指定了Intent应该传递给哪个组件。隐式意图;不指明调用的名称,根据设
spring3中新增的@value注解 bijian1013 java spring @Value
在spring 3.0中，可以通过使用@value，对一些如xxx.properties文件中的文件，进行键值对的注入，例子如下： 1.首先在applicationContext.xml中加入： <beans xmlns="http://www.springframework.
Jboss启用CXF日志 sunjing log jboss CXF
1. 在standalone.xml配置文件中添加system-properties： <system-properties> <property name="org.apache.cxf.logging.enabled" value=&
【Hadoop三】Centos7_x86_64部署Hadoop集群之编译Hadoop源代码 bit1129 centos
编译必需的软件 Firebugs3.0.0 Maven3.2.3 Ant JDK1.7.0_67 protobuf-2.5.0 Hadoop 2.5.2源码包 Firebugs3.0.0 http://sourceforge.jp/projects/sfnet_findbug
struts2验证框架的使用和扩展白糖_ 框架 xml bean struts 正则表达式
struts2能够对前台提交的表单数据进行输入有效性校验，通常有两种方式： 1、在Action类中通过validatexx方法验证，这种方式很简单，在此不再赘述； 2、通过编写xx-validation.xml文件执行表单验证，当用户提交表单请求后，struts会优先执行xml文件，如果校验不通过是不会让请求访问指定action的。本文介绍一下struts2通过xml文件进行校验的方法并说
记录-感悟 braveCS 感悟
再翻翻以前写的感悟，有时会发现自己很幼稚，也会让自己找回初心。 2015-1-11 1. 能在工作之余学习感兴趣的东西已经很幸福了； 2. 要改变自己，不能这样一直在原来区域，要突破安全区舒适区，才能提高自己，往好的方面发展； 3. 多反省多思考；要会用工具，而不是变成工具的奴隶； 4. 一天内集中一个定长时间段看最新资讯和偏流式博
编程之美-数组中最长递增子序列 bylijinnan 编程之美
import java.util.Arrays; import java.util.Random; public class LongestAccendingSubSequence { /** * 编程之美数组中最长递增子序列 * 书上的解法容易理解 * 另一方法书上没有提到的是，可以将数组排序（由小到大）得到新的数组， * 然后求排序后的数组与原数
读书笔记5 chengxuyuancsdn 重复提交 struts2的token验证
1、重复提交 2、struts2的token验证 3、用response返回xml时的注意 1、重复提交 (1)应用场景 (1-1)点击提交按钮两次。 (1-2)使用浏览器后退按钮重复之前的操作，导致重复提交表单。 (1-3)刷新页面 (1-4)使用浏览器历史记录重复提交表单。 (1-5)浏览器重复的 HTTP 请求。 (2)解决方法 (2-1)禁掉提交按钮 (2-2)
[时空与探索]全球联合进行第二次费城实验的可能性 comsci
二次世界大战前后,由爱因斯坦参加的一次在海军舰艇上进行的物理学实验 -费城实验至今给我们大家留下很多迷团..... 关于费城实验的详细过程,大家可以在网络上搜索一下,我这里就不详细描述了在这里,我的意思是,现在
easy connect 之 ORA-12154: TNS: 无法解析指定的连接标识符 daizj oracle ORA-12154
用easy connect连接出现“tns无法解析指定的连接标示符”的错误，如下： C:\Users\Administrator>sqlplus username/[email protected]:1521/orcl SQL*Plus: Release 10.2.0.1.0 – Production on 星期一 5月 21 18:16:20 2012 Copyright (c) 198
简单排序:归并排序 dieslrae 归并排序
public void mergeSort(int[] array){ int temp = array.length/2; if(temp == 0){ return; } int[] a = new int[temp]; int
C语言中字符串的\0和空格 dcj3sjt126com c
\0 为字符串结束符，比如说： abcd (空格)cdefg；存入数组时，空格作为一个字符占有一个字节的空间，我们
解决Composer国内速度慢的办法 dcj3sjt126com Composer
用法：有两种方式启用本镜像服务： 1 将以下配置信息添加到 Composer 的配置文件 config.json 中（系统全局配置）。见“例1” 2 将以下配置信息添加到你的项目的 composer.json 文件中（针对单个项目配置）。见“例2” 为了避免安装包的时候都要执行两次查询，切记要添加禁用 packagist 的设置，如下 1 2 3 4 5
高效可伸缩的结果缓存 shuizhaosi888 高效可伸缩的结果缓存
/** * 要执行的算法，返回结果v */ public interface Computable<A, V> { public V comput(final A arg); } /** * 用于缓存数据 */ public class Memoizer<A, V> implements Computable<A,
三点定位的算法 haoningabc c 算法
三点定位，已知a,b,c三个顶点的x,y坐标和三个点都z坐标的距离，la，lb,lc 求z点的坐标原理就是围绕a,b,c 三个点画圆，三个圆焦点的部分就是所求但是，由于三个点的距离可能不准，不一定会有结果，所以是三个圆环的焦点，环的宽度开始为0，没有取到则加1 运行 gcc -lm test.c test.c代码如下 #include "stdi
epoll使用详解 jimmee c linux 服务端编程 epoll
epoll - I/O event notification facility在linux的网络编程中，很长的时间都在使用select来做事件触发。在linux新的内核中，有了一种替换它的机制，就是epoll。相比于select，epoll最大的好处在于它不会随着监听fd数目的增长而降低效率。因为在内核中的select实现中，它是采用轮询来处理的，轮询的fd数目越多，自然耗时越多。并且，在linu
Hibernate对Enum的映射的基本使用方法 linzx0212 enum Hibernate
枚举 /** * 性别枚举 */ public enum Gender { MALE(0), FEMALE(1), OTHER(2); private Gender(int i) { this.i = i; } private int i; public int getI
第10章高级事件（下） onestopweb 事件
index.html <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/
孙子兵法 roadrunners 孙子兵法
始计第一孙子曰：兵者，国之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。故经之以五事，校之以计，而索其情：一曰道，二曰天，三曰地，四曰将，五曰法。道者，令民于上同意，可与之死，可与之生，而不危也；天者，阴阳、寒暑、时制也；地者，远近、险易、广狭、死生也；将者，智、信、仁、勇、严也；法者，曲制、官道、主用也。凡此五者，将莫不闻，知之者胜，不知之者不胜。故校之以计，而索其情，曰
MySQL双向复制 tomcat_oracle mysql
本文包括: 主机配置从机配置建立主-从复制建立双向复制背景按照以下简单的步骤: 参考一下：在机器A配置主机(192.168.1.30) 在机器B配置从机(192.168.1.29) 我们可以使用下面的步骤来实现这一点步骤1：机器A设置主机在主机中打开配置文件 ,
zoj 3822 Domination(dp) 阿尔萨斯 Mina
题目链接：zoj 3822 Domination 题目大意：给定一个N∗M的棋盘，每次任选一个位置放置一枚棋子，直到每行每列上都至少有一枚棋子，问放置棋子个数的期望。解题思路：大白书上概率那一张有一道类似的题目，但是因为时间比较久了，还是稍微想了一下。dp[i][j][k]表示i行j列上均有至少一枚棋子，并且消耗k步的概率（k≤i∗j）,因为放置在i+1~n上等价与放在i+1行上，同理