奇偶校验码和海明码原理

奇偶校验：

不管是奇校验还是偶校验，监督位都在数据的后面，而且仅一位。如：

信息位	监督位
111001110	1

编码原理：

信息位 监督位	1110 0110 00	1110 0110 00
奇校验时	0	1
偶校验时	1	0

上面的形式是10位数据位+1位监督位。

奇校验，要保证插入监督码后”1“的个数为奇数，其中数据位是不变的，所以监督位置1或0；也就是说，若数据位中”1“的个数是偶数，则监督位为1；若数据位中”1“的个数是奇数，则监督位为0。

偶校验，要保证插入监督码后”1“的个数为偶数，其中数据位是不变的，所以监督位置1或0；也就是说，若数据位中”1“的个数是偶数的话，则监督位为0；若数据位中”1“的个数是奇数，则监督位为1。
 

公式表示：

设码组长度为n，前n-1位信息码元，第n位为监督位

在偶校验时   有：

             则监督位：

在奇校验时   有：

             则监督位：

其中表示模2和，等同“异或”运算。

奇偶校验只能发现单个或者奇数个错误，而不能校测出偶数个错误，因而它的校错能力不强。

海明码:

  奇偶校验只能检错，并不能纠错，因为一位的监督码并不足以把错误的位置表示出来。海明码是一种多重（复式）奇偶检错系统。监督位的长度并不一定，信息位越长，监督位越长，因为它还要把错误的位置表示出来。

若信息长为n，信息位数为k，监督位为r=n-k。则要求：

或

若有两个监督位，那么两个校正字就有4种可能的组合：

00	无错
01	第一位出错
10	第二位出错
11	第三位出错

监督位不是放在信息位的后面，也不是连续的。

监督位在上，n是为整数且。假如四位信息码为“1011”，怎么去求校验位、、的值。
海明码也分为偶校验海明码、奇校验海明码。下面采用偶校验举例。

 对信息码“1011”进行海明编码：
第一步：确定校验码的个数和位置。

已知：信息位数k=4，由得最小的校验位数r=3。位置在上。P代表校验位，D代表信息位，如下：

码字位置(二进制)	1(0001)	2(0010)	3(0011)	4(0100)	5(0101)	6(0110)	7(0111)
码位类型
码值	？	？	1	？	0	1	1

第二步：根据关系式求出每一个校验位。

负责校验信息位、、，在偶校验时有

                         则：=0

负责校验信息位、、，在偶校验时有

                         则：=1

负责校验信息位、、，在偶校验时有

                         则：=0

对信息码“1011”进行海明编码后为“0110011”。

  在这里的每一个校验位该负责哪几个信息位是有规律的，从上面的表格可以看出来，每一个校验码跟其负责的任一信息位的码字位置进行“与”运算等于1，根据这规律就知道每个校验位负责的所有信息位。

如： （0001）&（0001）=1     （0001）&（0101）=1

     （0001）&（0110）=0     （0001）&（0111）=1

所以负责的校验信息位是、、。同理得出、。

以上是发送方的处理过程，在接收方根据下面3个校验方程对接收到的信息进行奇偶测试：

A==0

B==0

C==0

以A为最低有效位，可构成二进制数CBA.

若CBA=000，即等式右边都等于0，说明没有错；若CBA=001，说明出错；若CBA=100,说明出错。