随机过程之基本概念(一)

随着对课题的深入接触,越来越感觉到概率论与数理统计对于科学和工程的重要意义,之前确实小看了。尤其是”随机过程“,作为数理统计的重要部分,应用包罗万象,例如:气象预报、通信工程、金融工程、人口理论和可靠性与质量控制等各个方面。下面简单介绍下随机过程的基本概念。

 

1.发展背景

随机过程的早期研究可追溯到玻尔兹曼等人在统计力学中的研究中;Erlang等在电话流中研究了Possion过程;而整个学科的基础是由科尔莫尔戈罗夫(Kolmorgorov)和多布(Doob)奠定的。生灭过程由费勒(Feller)首先引进。之后还有平稳过程、排队论、马尔科夫过程和鞅等早期的重要里程碑式的发展。

2.基本定义

随机过程就是一族随机变量{ X(t), t\epsilon T},其中,t是参数,它属于某个指标集T,T称为参数集。

注:注意区分随机变量与随机过程。一般的,t代表时间,当T={0,1,2,,,}时,随机过程也称为随机序列。随机变量的概念,我们都很熟悉,例如:随机变量X,之所以称其为随机变量,是因为它的取值是随机的,即X可能取0,0.4,0.7(只是举例)等有限值。当我们在N个间距相等的不同时刻分别观测X这个量,我们会得到一族随机变量,即N个随机变量,姑且记为X(0),X(1),X(2),X(3),,,X(N-1), 这N个元素每一个都是随机变量,当在时间T范围内取无数个时刻,即使相邻的时刻间隔趋近于0,则我们就得到随机过程{ X(t), t\epsilon T}了!所以,随机过程就是一个以时间为线索的随机变量的集合

在随机过程{ X(t), t\epsilon T}中,如果固定时刻t,即观察随机过程中的一个随机变量。例如,固定时间为t_{0}, 则X(t_{0})就是一个随机变量,其取值随着随机试验的结果而变化,变化有一定规律,叫做概率分布,随机过程在时刻取的值叫做过程所处的状态,状态的全体集合称为状态空间;随机变量是定义在空间A中的,当固定一次随机实验,即取定a _{0}\epsilon A, X(t, a _{0})就是一条一个样本的样本路径,它是时间t的函数,可能是连续的,也可能有间断点和跳跃。

依据状态空间可将随机过程分为连续状态和离散状态;依据时间T,当T为有限集或可数集则称之为离散参数过程,反之称为连续参数过程,当T是高维向量则称X(t)为随机场

 

3.常见实例

(1)英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的运动,这种运动叫做布朗运动。它是大量分子随机碰撞的结果。若记X(t)为粒子在平面上的位置,则它是平面上的布朗运动,为一个随机过程,在统计物理学中对它有深入的研究。

(2)一个醉汉在路上行走,以概率P前进一步,概率1-P后退一步,以X(t)记他在路上的位置,则X(t)就是直线上的随机游动(他在每个时刻的位置都是一个随机变量)。

(3)

随机过程之基本概念(一)_第1张图片

例如,在通信系统中的热噪声,热噪声是由电阻性原件中的电子因热扰动而产生的,如上图为n个电阻中的热噪声随时间的变化曲线。

结束。

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