随机过程之基本概念（一）

随着对课题的深入接触，越来越感觉到概率论与数理统计对于科学和工程的重要意义，之前确实小看了。尤其是”随机过程“，作为数理统计的重要部分，应用包罗万象，例如：气象预报、通信工程、金融工程、人口理论和可靠性与质量控制等各个方面。下面简单介绍下随机过程的基本概念。

 

1.发展背景

随机过程的早期研究可追溯到玻尔兹曼等人在统计力学中的研究中；Erlang等在电话流中研究了Possion过程；而整个学科的基础是由科尔莫尔戈罗夫(Kolmorgorov)和多布(Doob)奠定的。生灭过程由费勒(Feller)首先引进。之后还有平稳过程、排队论、马尔科夫过程和鞅等早期的重要里程碑式的发展。

2.基本定义

随机过程就是一族随机变量{ X(t), t}，其中，t是参数，它属于某个指标集T，T称为参数集。

注：注意区分随机变量与随机过程。一般的，t代表时间，当T={0，1，2，，，}时，随机过程也称为随机序列。随机变量的概念，我们都很熟悉，例如：随机变量X,之所以称其为随机变量，是因为它的取值是随机的，即X可能取0，0.4，0.7(只是举例)等有限值。当我们在N个间距相等的不同时刻分别观测X这个量，我们会得到一族随机变量，即N个随机变量，姑且记为X(0),X(1),X(2),X(3),,,X(N-1), 这N个元素每一个都是随机变量，当在时间T范围内取无数个时刻，即使相邻的时刻间隔趋近于0，则我们就得到随机过程{ X(t), t}了！所以，随机过程就是一个以时间为线索的随机变量的集合。

在随机过程{ X(t), t}中，如果固定时刻t,即观察随机过程中的一个随机变量。例如，固定时间为， 则X()就是一个随机变量，其取值随着随机试验的结果而变化，变化有一定规律，叫做概率分布，随机过程在时刻取的值叫做过程所处的状态，状态的全体集合称为状态空间；随机变量是定义在空间A中的，当固定一次随机实验，即取定, X(t, )就是一条一个样本的样本路径，它是时间t的函数，可能是连续的，也可能有间断点和跳跃。

依据状态空间可将随机过程分为连续状态和离散状态；依据时间T，当T为有限集或可数集则称之为离散参数过程，反之称为连续参数过程，当T是高维向量则称X(t)为随机场。

 

3.常见实例

(1)英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的运动，这种运动叫做布朗运动。它是大量分子随机碰撞的结果。若记X(t)为粒子在平面上的位置，则它是平面上的布朗运动，为一个随机过程，在统计物理学中对它有深入的研究。

(2)一个醉汉在路上行走，以概率P前进一步，概率1-P后退一步，以X(t)记他在路上的位置，则X(t)就是直线上的随机游动（他在每个时刻的位置都是一个随机变量）。

(3)

例如，在通信系统中的热噪声，热噪声是由电阻性原件中的电子因热扰动而产生的，如上图为n个电阻中的热噪声随时间的变化曲线。

结束。