数学建模常规算法——灰色预测模型

一. 灰色预测模型概念

1. 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
2. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
3. 灰色预测的四种常见类型：
   1）灰色时间序列预测
   2）畸变预测
   3）系统预测
   4）拓扑预测

二. 灰色生成数列
在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

1. 累加生成：把数列各项数据依次累加的过程称为累加生成过程（AGO），所得的数列称为累加生成数列。根据累加次数，称为x(0)的r次累加生成数列。
2. 累减生成：对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程IAGO，

三. 灰色模型GM

1. 定义x⁽¹⁾的灰导数为：d(k) = x⁽⁰⁾(k) = x⁽¹⁾(k) - x⁽¹⁾(k-1)
2. 令z⁽¹⁾(k) = ax⁽¹⁾(k) + (1-a)x⁽¹⁾(k-1)
3. 定义GM（1，1）的灰微分方程模型为：d(k) + az⁽¹⁾(k) = b
   备：x⁽⁰⁾(k)为灰导数，a为发展系数，z⁽¹⁾(k)称为白化背景值，b为灰作用量，在实际上，回归分析中求ab的估计值有标准程序求解。

四. GM(1,1)灰色预测的步骤

1. 数据的检验与处理：为保证建模方法的可行性
   计算数列的级比：λ(k) = x⁽⁰⁾(k-1)/x⁽⁰⁾(k)如果所有的级比都落在可容覆盖区间（e^-2/(n+1),e^2/(n+1))内，则数据列可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰色预测，否则对数据做适当的变换处理，如平移变换：y⁽⁰⁾(k) = x⁽⁰⁾(k) + c的级比都落在可容覆盖内。

2. 建立GM（1，1）模型：
   

3. 检验预测值