中国剩余定理
中国剩余定理
今有物不知其数，三三数之余二；五五数之余三；七七数之余二。问物几何？
答案：23
口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知
其实原问题就是求解以下的同余方程组
{ x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 ) \left\{ \begin{aligned} x \equiv 2 \, (mod \,\, 3) \\ x \equiv 3 \, (mod \,\, 5) \\ x \equiv 2 \, (mod \,\, 7) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)
而 23 = ( 2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 ) m o d ( 3 × 5 × 7 ) 23 = (2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15) \,\, mod \,\,(3 \times 5 \times\ 7) 23=(2×70+3×21+2×15)mod(3×5× 7)，那 70 ， 21 ， 15 70，21，15 70，21，15是怎么求得的呢，通过以下三步：
- 70 70 70实际上是 5 5 5和 7 7 7的公倍数中模 3 3 3余 1 1 1的最小的那个数， x ≡ 1 ( m o d 3 ) x \equiv 1 \,(mod\,\,3) x≡1(mod3)，其中 x = 35 k x = 35k x=35k
- 21 21 21实际上是 3 3 3和 7 7 7的公倍数中模 5 5 5余 1 1 1的最小的那个数， x ≡ 1 ( m o d 5 ) x \equiv 1\, (mod \,\,5) x≡1(mod5)，其中 x = 21 k x = 21k x=21k
- 15 15 15实际上是 3 3 3和 5 5 5的公倍数中模 7 7 7余 1 1 1的最小的那个数， x ≡ 1 ( m o d 7 ) x \equiv 1 \,(mod\,\,7) x≡1(mod7)，其中 x = 15 k x = 15k x=15k
其中有什么原理呢？
首先假设 x 1 x_1 x1是 x ≡ 2 ( m o d 3 ) x \equiv 2 \, (mod \,\, 3) x≡2(mod3)的解， x 2 x_2 x2是 x ≡ 3 ( m o d 5 ) x \equiv 3 \, (mod \,\, 5) x≡3(mod5)的解， x 3 x_3 x3是 x ≡ 2 ( m o d 7 ) x \equiv 2 \, (mod \,\, 7) x≡2(mod7)的解
那么能否进一步满足， x 1 + x 2 x_1+x_2 x1+x2模 3 3 3余 2 2 2也成立呢？只要满足** x 2 x_2 x2是 3 3 3的倍数就可以，同理要使得 x 1 + x 3 x_1+x_3 x1+x3模 3 3 3余 2 2 2也成立，那么 x 3 x_3 x3也得是 3 3 3的倍数**，这是从 x 1 x_1 x1的角度出发
来看 x 2 x_2 x2， x 2 x_2 x2满足模 5 5 5余 3 3 3成立。为了使得 x 1 + x 2 x_1+x_2 x1+x2也满足模 5 5 5余 3 3 3成立，那么 x 1 x_1 x1必须是 5 5 5的倍数，同理， x 3 x_3 x3也要是 5 5 5的倍数，才能满足 x 2 + x 3 x_2+x_3 x2+x3模 5 5 5余 3 3 3成立。
最后是 x 3 x_3 x3。同理** x 1 ， x 2 x_1，x_2 x1，x2也必须是 7 7 7的倍数**。弄清楚了这些条件
那么 x 1 + x 2 + x 3 x_1+x_2+x_3 x1+x2+x3就是最终的一个答案了。总的来说这 3 3 3个数要满足
- x 1 x_1 x1模 3 3 3余数是 2 2 2，同时 x 1 x_1 x1是 5 5 5和 7 7 7的一个公倍数
- x 2 x_2 x2模 5 5 5余数是 3 3 3，同时 x 2 x_2 x2是 3 3 3和 7 7 7的一个公倍数
- x 3 x_3 x3模 7 7 7余数是 2 2 2，同时 x 3 x_3 x3是 3 3 3和 5 5 5的一个公倍数
需要注意的是， x 1 + x 2 + x 3 x_1+x_2+x_3 x1+x2+x3只是其中一个解，并不是最小的解。要明白如果 t t t是上述同余方程组的解那么 t + 105 k t+105k t+105k也是方程组的解。 105 105 105是 3 ， 5 ， 7 3，5，7 3，5，7的最小公倍数
求解的时候，可以使用扩展欧几里德算法，将 x 1 x_1 x1模 3 3 3余数是 2 2 2，变成 x 1 x_1 x1模 3 3 3余数是 1 1 1，将答案乘以 2 2 2即可，相当于求 x 1 − 3 k = 1 x1 - 3k = 1 x1−3k=1
例题：
给定 n n n 组非负整数 a i , b i a_i, b_i ai,bi ，求解关于 x x x 的方程组的最小非负整数解。(其中 a i a_i ai两两互质)
{ x ≡ b 1 ( m o d a 1 ) x ≡ b 2 ( m o d a 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . x ≡ b n ( m o d a n ) \left\{ \begin{aligned} x \equiv b_1 \, (mod \,\, a_1) \\ x \equiv b_2 \, (mod \,\, a_2) \\ ................\\ x \equiv b_n \, (mod \,\, a_n) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x≡b1(moda1)x≡b2(moda2)................x≡bn(modan)
输入
输入第一行包含整数 n n n。
接下来 n n n 行，每行两个非负整数 a i , b i a_i, b_i ai,bi。
输出
输出一行，为满足条件的最小非负整数 x x x。
输入样例
3
2 1
3 2
5 3
输出样例
23
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll a[N], b[N], M = 1;
int n;
void ex_gcd (ll a, ll b, ll &x, ll & y) { //扩展欧几里德
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return ;
}
ex_gcd(b, a%b, x, y);
ll t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
}
ll CRT () {
ll ans = 0, x, y, g;
for (int i = 1; i <= n; i++)
M *= a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ex_gcd (M / a[i], a[i], x, y);
ans = (ans + x * (M / a[i]) * b[i]) % M;
}
return (ans + M) % M;
}
int main () {
scanf ("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf ("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
printf("%lld\n", CRT ());
return 0;
}