S.P.随机过程的分类

S.P.随机过程的分类

  • 随机过程的增量
  • 正态过程
    • 例:分数Brown运动
  • Markov过程
  • 平稳过程
  • σ-代数流和适应过程

随机过程的增量

S.P.随机过程的分类_第1张图片

这里把时间区间规定为左开右闭…其实有点疑惑…如果是离散型的随机变量,(-∞,a]的概率应该算作0还是p(a)呢?

平稳独立增量过程的均值函数一定是时间 t 的线性函数。

例子:
S.P.随机过程的分类_第2张图片

正态过程

在这里插入图片描述
由于正态分布完全由其均值向量和协方差矩阵决定,所以正态过程的分布完全由其均值函数(一阶矩)和相关函数(二阶矩)所决定。

例:分数Brown运动

S.P.随机过程的分类_第3张图片
将t取在正半轴上

Markov过程

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Markov性的直观解释是已知“现在”的条件下,“过去”与“将来”无关,它反应的是条件独立性。

例:
S.P.随机过程的分类_第5张图片

平稳过程

刚开始我也把这个“平稳过程”和前面的“平稳增量过程”弄混淆了,这样区分吧,“平稳过程”中的“平稳”是用来修饰“过程”的,而“平稳增量过程”中的“平稳”是用来修饰“增量”的,仔细读几遍定义就能区分开啦。
其主要性质与变量之间的时间间隔有关,与所考察的起始点无关,这样的过程称为平稳过程,严格来讲就是下面的定义:
S.P.随机过程的分类_第6张图片

严平稳过程的条件比较强,在实际中很少有这样的例子(热噪声、电压),从应用的角度出发,更多的时候需要弱化这个条件,不要求其分布,而是要求一阶矩、二阶矩在时间的平移下不变,即(宽)平稳过程。

一个二阶矩存在的严平稳过程一定是宽平稳过程,反之不成立,但对正态过程来说,两者是等价的。(即如果一个正态过程是宽平稳过程,那它一定是严平稳过程)

σ-代数流和适应过程

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