S.P. Poisson过程

Poisson过程是最重要的随机过程之一，它是计数过程、独立平稳增量过程、Markov过程。在随机过程的理论及排队论、计算机图像处理等诸多应用领域具有奠基性的作用。

1. 计数过程

计数过程在实际中有着广泛的应用，只要我们对所观察的事件出现的次数感兴趣，就可以使用计数过程来描述。比如，考虑一段时间内到某商店购物的顾客数或某超市中等待结账的顾客数，经过公路上的某一路口的汽车数量，某地区一段时间内某年龄段的死亡人数，新出生人数，保险公司接到的索赔次数等，都可以用计数过程来作为模型加以研究。

2. Poisson过程的定义

2.1 定义一

Poisson过程的独立增量性和平稳增量性的直观含义：
独立增量性：在不相交的时间区间上面，事件A发生的次数是相互独立的
平稳增量性：事件A发生的次数的分布，只与时间的长度有关，而与时刻本身无关

定义一中判断随机变量的分布并不是一件容易的事情，故有定义二。

2.2 定义二

条件（3）中两个式子的直观含义：
在充分短的时间范围内，事件A最多只发生1次，或者说，事件A是一次一次地发生的；它同时发生2次或两次以上的概率为0.

根据定义二，可以画出一个不太严格的Poisson分布的轨道图：

2.3 两个定义的等价性

数学归纳法+微分方程

3. Poisson过程的基本性质

3.1 Poisson过程的数字特征

3.2 Poisson过程的可加性

由泊松分布的可加性可以自然联想（特征函数证明）

3.3 Poisson过程的可分解性

也叫随机筛选的性质

4. Poisson过程相联系的若干分布

4.1 时间间隔xn的分布（定义三）

xn服从参数为λ的指数分布，且相互独立

4.2 到达时刻Tn的分布

Tn服从参数为n，λ的 Γ分布

4.3 C.R.V顺序统计量的分布

4.4 到达时刻的条件分布

5. Poisson过程的推广

5.1 非齐次Poisson过程

用Poisson过程做一些实际的计数过程的模型会有一些局限性。
比如：电话交换台收到的呼叫次数、服务机构的顾客数…，这些经常会与时刻有关，事件发生的强度不是一个常数。
解决的方式：把 λ 换成 λ (t).

当Poisson过程的强度 λ 不再是常数，而与时间 t 有关时，Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。
非齐次Poisson过程保留了Poisson过程的独立增量性，但没有了平稳增量性。

5.2 复合Poisson过程

复合Poisson过程是保险中最基本的一个模型，在很多应用领域也经常用到。

性质：

5.3 条件Poisson过程

Poisson 过程描述的是一个有着“风险”参数 λ 的个体发生某一事件的频率，如果我们考虑一个总体，其中的个体存在差异，比如发生事故的倾向性因人而异。由此定义：
即事件发生的强度与时刻关系不大，但依赖于一个环境变量。如高速公路的事故数与天气情况相关。
条件Poisson过程保留了Poisson过程的平稳增量性，但没有了独立增量性。

遗留问题

使用R模拟时遇到的问题

学习过程中碰到一道习题，对于题目中两个函数的分布是否一样不大好判断，我就想用R去做模拟。这两个函数的特点是：都是连续型、约束条件都很多，所以找不到可以直接调用的函数。
然后我就用经验分布函数去近似模拟它们原来的分布，由于计算机对这种近似求法本来就有一定的差距，即使不断调整两个函数的n值，最后的结果始终都无法完整拟合，但能够大致判断函数的走向。
相当于中心极限定理的逼近过程，n值取得越大，结果肯定更好。但是要怎样才能拟合出像R语言里面那些已经封装好的连续型函数的效果呢？