Coursera离散数学概论笔记（一）： 数理逻辑之基本概念

---

1 什么是数理逻辑

1.1 逻辑学

逻辑学：逻辑学是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创立。

亚里士多德在逻辑学中最重要的工作是提出三段论学说。他声称只要符合三段论的推理就是正确的。一个三段论就是一个包括由大前提、小前提和结论三个部分的论证。比如以下这个最著名例子：

1. 凡是人都会死（大前提）
2. 苏格拉底是人（小前提）
3. 苏格拉底会死（结论）

逻辑学还是以自然语言来表述的，可能会因为自然语言的模糊性损害其准确和权威。

1.2 数理逻辑

数理逻辑：用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑（也叫做符号逻辑）。

数理逻辑的四大分支：

• 公理化集合论：研究集合论的无矛盾性问题
• 证明论：研究数学系统的逻辑结构和证明的规律
• 递归论：研究可计算性的理论
• 模型论：研究形式系统和数学模型之间的关系

课程会介绍到的各个分支的共同基础部分：

• 命题演算
• 谓词演算

2 什么是命题

命题（proposition）：对确定的对象做出判断的陈述句称作命题，命题是数理逻辑中最基本的概念。如果判断正确，称命题真（true），否则称命题假（false），“真、假”是命题是属性，称为真值。

命题的几个要点：

• 真值是命题的固有属性，但是是否知道真值，能否知道真值是另一回事。
• 悖论不能作为命题。
• 命题非真即假，不能兼有之，也不能不真不假。

3 排中律

排中律（Law of Excluded Middle）：任一事物在同一时间里具有某属性或者不具有某属性，而无其他可能。排中律是传统逻辑的基本规律之一。

传统数学证明中经常采用的”反证法“即利用了排中律：

1. 先写出原命题的反命题
2. 证明反命题为假
3. 根据排中律，证明原命题为真

4 命题符号化

4.1 命题与逻辑联结词

引入3个新概念：

• 逻辑联结词（logical connectives）：连接命题，对真值进行运算的词

• 原子命题（atom proposition）：不含有逻辑联结词的命题

• 复合命题（compoud proposition）：包含了原子命题和逻辑联结词的命题

举几个复合命题的例子：

• 雪不是白的。 （可以视为对“雪是白的”的否定）
• 今晚我去看书或者看电影。 （“或者”）
• 你去了教室，我去了食堂。 （省略了“且”）
• 如果天气好， 那么我去车站接你。 （“如果”+“那么”）
• 偶数a是素数，当且仅当a=2。（“当且仅当”）

4.2 形式化

如何把命题变成“算式”？（形式化）

使用**抽象（abstraction）**的方法：仅关注命题的本质属性（真值），而抛弃其丰富的内涵；仅关注逻辑联结词的本质属性（运算），而抛弃多变的语言表达方式。将其变为符号，以规则相连：

1. 真命题用$t$表示，假命题用$f$表示
2. 原子命题一般用$p$，$q$，$r$，$s$或$p_i$，$q_i$，$r_i$，$s_i$表示
3. 逻辑联结词用特殊符号表示：
   • 非（not）：¬或者$\overline{X}$
   • 并且（and）：$\bigwedge$
   • 或（or）：$\bigvee$
   • 如果…那么…（if…then…）：$\to$
   • 当且仅当（if and only if）：$\leftrightarrow$

5 逻辑联结词

5.1 否定词（negation）“非”（not）

¬$p$为真的的条件是p为假。

真值表为：

$p$	¬$p$
0	1
1	0

注意在包含多个对象的命题的否定时，其意义的变化，比如：

“天鹅都是白的”

其否定并不是”天鹅都不是白的“

而是”天鹅不都是白的“

5.2 合取词（conjunction) ”并且“（and）

$p\bigwedge q$为真的条件是$p$和$q$同时成立。

真值表为：

$p$	$q$	$p\bigwedge q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

自然语言中许多表示并列的连接词都可以符号化为”$\bigwedge$“：

• ”既…又…"
• “不但…而且…”
• “虽然… 但是…”

5.3 析取词（disjunction) ”或“（or）

$p\bigvee q$为真的条件是$p$和$q$中至少一个成立。

真值表为：

$p$	$q$	$p\bigvee q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

自然语言中的“或”可以符号化为$\bigvee$，但是要注意原命题中的“或”可能表示排斥性选择：

李四学过德语或法语（相容或）（可以同时发生）

张三生于1972年或1973年（排斥或）（不能同时发生）

人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛（排斥或）（不能同时发生）

排斥或可以用异或表示，表达式为：$(p\bigwedge \neg q)\bigvee (\neg p\bigwedge q)$

5.4 蕴涵词（implication) ”如果…那么…“（if…then…）

$p\to q$的逻辑关系是，$p$是$q$的充分条件，或者说$q$是$p$的必要条件。

真值表为：

$p$	$q$	$p\to q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

几点说明：

• $p\to q$中的$p$称为蕴涵前件，$q$称为蕴涵后件。

• 自然语言中的许多条件连接词都可以符号化为$\to$，但是要注意条件的顺序：

  • “只要…就…”
  • “如果…那么…“
  • ”只有…才…”(蕴涵前件和蕴涵后件在句子中的顺序是颠倒过来的)

• 数理逻辑中的蕴涵只是命题中的一种连接，两个命题之间不一定具有什么内在联系。

• 蕴涵式的真值表和$(\neg p\bigvee q)$的真值表相同。

5.5 双向蕴涵词（two-way implication) ”当且仅当“（if…and only if…）

$p\leftrightarrow q$的逻辑关系是$p$和$q$互为充分必要条件。

真值表为：

$p$	$q$	$p\leftrightarrow q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

双向蕴涵词的连接词(设$p$和$q$为l连接前后词语的命题）：

• “当且仅当”（$p\leftrightarrow q$）
• “除非…否则…"（$p\leftrightarrow \neg q$）

当然，复合命题可以由多个逻辑联结词连接起来：

“如果3是合数，则4是素数，并且如果4是素数，则它不能被2整除”

$p$：3是合数

$q$：4是素数

$r$：4能被2整除

则命题表达式为：$(p\to q)\bigwedge (q\to r)$

6 命题公式

6.1 组成成分

命题公式（proposition formula） 由命题常元、命题变元、逻辑联结词组成：

命题常元（proposition constants）：表示具体命题及表示常命题的$p$，$q$，$r$，$s$等和$t$，$f$。

命题变元（proposition variables）：以“真、假”为取值范围的变量，仍用$p$，$q$，$r$，$s$等表示。

命题公式简称公式，采用大写$A$，$B$，$C$等表示。

6.2 命题公式的定义

定义如下：

1. 命题常元和命题变元是命题公式，称作原子公式或原子。
2. 如果$A$，$B$是命题公式，那么$(\neg A)$，$(A\bigwedge B)$，$(A\bigvee B)$，$(A\to B)$，$(A\leftrightarrow B)$也是命题公式。
3. 只有有限步引用以上两条所组成的符号串是命题公式。

以上三条的定义方法称为归纳定义，这在集合论中将会信息讨论。

根据定义，可以给出一些例子：

$(\neg (p\to (q\bigwedge r)))$是命题公式

以下式子都不是命题公式：

• $(qp)$
• $(p_1\bigwedge (p_2\bigwedge ...$
• $p\to r\bigwedge s$（严格定义下缺少了括号）

严格按照定义的命题公式太繁琐，所以我们进行简化：

• 公式最外层的括号一律省略
• 规定逻辑联结词的优先级

6.3 逻辑联结词的优先级

我们定义逻辑联结词的优先级为：$\neg$，$[\bigwedge \bigvee ]$，$\to$，$\leftrightarrow$

除非有括号，否则按照优先级从高到低，从左到右的次序依次结合。

7 真值函数

7.1 命题公式与真值函数的关系

如果将逻辑联结词看作逻辑运算符，那么包含命题变元$p_1$，$p_2$等的公式$A$可以看作是关于$p_1$，$p_2$等的一个真值函数。每个变元的取值范围是{0，1}，真值函数数值的取值范围也是{0，1}。

命题公式在形式上的一个规则的字符串，在内容上则对应一个真值函数。

7.2 真值函数的赋值

任意给定的$p_1$，$p_2$…$p_n$的一种取值状况组合，称为指派或者赋值（assighments），用希腊字母$\alpha$，$\beta$等表示。

对于每个赋值，公式$A$均有一个确定的真值。

当公式$A$对赋值$\alpha$为真时：称$\alpha$是$A$的成真赋值，或者$\alpha$弄真$A$，记作$\alpha (A)=1$。

当公式$A$对赋值$\alpha$为假时：称$\alpha$是$A$的成假赋值，或者$\alpha$弄假$A$。记作$\alpha (A)=0$。

7.3 真值表

对于所有可能的赋值，公式$A$的真值可以用真值表来确定。

以下是一个真值表的例子：

当$A$中包含有$n$个命题变元和$k$个联结词时，公式$A$的真值表应有$2^n$行，$(k+n)$列。

8 命题形式化

8.1 形式化步骤

1. 首先确定原子命题
2. 其次确定逻辑联结词
3. 最后处理命题之间的联结关系及顺序

举几个例子：

狗急跳墙（$p$：狗急了 $q$：狗跳墙）

​ 形式化命题：$p\to q$

无论是否下雨，我都去上学（p：天下雨，q：我去上学）

​ 形式化命题：$(p\to q)\bigwedge (\neg p\to q)$

​ 或者：$(p\bigwedge q)\bigvee (\neg p\bigwedge q)$

​ 或者：$q$

8.2 注意事项

• 要善于确定原子命题，如兄弟这个概念就无需进一步拆分。
• 要善于识别自然语言中的联结词。
• 对于涉及对个对象进行否定的否定词位置要准确。
• 不能省略必要的括号，另外，为了提高公式的可读性，可以保留一些括号。
• 有时候语句的形式化结果不是唯一的，可能具有不同形式，但是逻辑上是等价的。